2022年新教材高中数学 课时检测4 向量的数乘运算（含解析）新人教A版必修第二册.doc

向量的数乘运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列各式计算正确的个数是()①(-7)·6a=-42a;②a-2b+2(a+b)=3a;③a+b-(a+b)=0.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据向量数乘的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.2.下列说法正确的是()A.2a≠aB.|2a|>|a|C.2a∥aD.|2a|≠1【解析】选C.当a=0时,2a=a=0,A,B不正确;当|a|=时,|2a|=1,D不正确.3.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2++=0,则()A.=2B.=C.=3D.2=【解析】选B.因为D为BC的中点,所以+=2,所以2+2=0,所以=-,所以=.【补偿训练】已知向量a,b满足:|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ=()A.B.C.±D.±【解析】选C.因为|a|=3,|b|=5,a=λb,所以|a|=|λ||b|,即3=5|λ|,所以|λ|=,λ=±.4.设a,b为不共线的两个非零向量,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于()A.10B.-10C.2D.-2【解析】选C.因为A,B,D三点共线,所以=λ=λ(-),所以a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),所以λ=1,k=2.【补偿训练】已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,)C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈(0,)【解析】选A.由已知,得=λ,λ∈(0,1),而=+,所以=λ(+),λ∈(0,1).5.在△ABC中,若+=2,则等于()A.-+B.-C.-D.-+【解析】选C.由+=2得=(+),所以=+=-(+)+=-.6.(多选题)点P是△ABC所在平面内一点,若=λ+,其中λ∈R,则点P不可能在()A.△ABC内部B.AC边所在的直线上C.AB边上D.△ABC外部【解析】选ACD.因为=λ+,所以-=λ.所以=λ.所以P,A,C三点共线.所以点P一定在AC边所在的直线上.所以点P不可能在△ABC内部与外部,也不可能在AB边上.【补偿训练】已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且++=,则()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上【解析】选D.++=-,所以=-2,所以P在AC边上.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=________.【解析】由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.答案:4b-3a8.设a,b是两个不共线的向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=________.【解析】因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,所以ka+2b=λ(8a+kb)⇒k=8λ,2=λk⇒k=-4(因为方向相反,所以λ<0⇒k<0).答案:-4三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=e+2f,=-4e-f,=-5e-3f.(1)用e,f表示;(2)证明:四边形ABCD为梯形.【解析】(1)=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.(2)因为=-8e-2f=2(-4e-f)=2,所以与方向相同,且的长度为的长度的2倍,即在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形.10.已知两个非零向量a与b不共线,=2a-b,=a+3b,=ka+5b.(1)若2-+=0,求k的值;(2)若A,B,C三点共线,求k的值.【解析】(1)因为2-+=2(2a-b)-a-3b+ka+5b=(k+3)a=0,所以k=-3.(2)=-=-a+4b,=-=(k-2)a+6b,又A,B,C三点共线,则存在λ∈R,使=λ,即(k-2)a+6b=-λa+4λb,所以解得k=.