2022届高中数学讲义微专题66 直线与圆位置关系 WORD版含解析.doc

微专题66直线与圆位置关系一、基础知识：1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程：设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：3、圆的一般方程：圆方程为（1）的系数相同（2）方程中无项（3）对于的取值要求：4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则：①当时，直线与圆相交②当时，直线与圆相切③当时，直线与圆相离（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。设直线：，圆：，则：消去可得关于的一元二次方程，考虑其判别式的符号①，方程组有两组解，所以直线与圆相交②，方程组有一组解，所以直线与圆相切③，方程组无解，所以直线与圆相离5、直线与圆相交：弦长计算公式：6、直线与圆相切：（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径例：已知圆的方程为：及圆上一点，求过的圆的切线方法一：利用第一条性质：，所以可得切线斜率切线方程为：，整理后可得：方法二：利用第二条性质：设切线方程为：即整理可得：解得：（2）圆上点的切线结论：①圆上点处的切线方程为②圆上点处的切线方程为（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）7、与圆相关的最值问题（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为，若最小，则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中，，所以时，最小（3）已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于（4）已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为解：，则若最小，则只需最小即可，所以点为过作垂线的垂足时，最小过作圆的切线，则切线长最短8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆的半径为，①外离②外切③相交④内切⑤内含（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定。二、典型例题：例1：已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数（）A.B.C.或D.思路：因为为等边三角形且为圆心，所以该三角形的边长为，由等边三角形的性质可知高为，即到的距离为，由圆方程可得：，所以利用点到直线距离公式可得：，解得：答案：D例2：圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（）A.B.C.D.思路：不妨设圆心，其中，半径为，因为直线与圆相切，所以有，若圆的面积最小，则半径最小，则，即，此时，所以圆方程为：答案：A例3：设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.思路：由圆的性质可知：圆上一点，与所组成的角，当与圆相切时，最大。所以若圆上存在点，使得，则。由和可知过且与圆相切的一条直线为，切点，所以在直角三角形中，，从而答案：A例4：设，若直线与圆相切，则的取值范围是（）A.B.C.D.思路：通过圆方程可知圆心，半径，因为直线与圆相切，所以，整理后可得：，即，所以，进而由“对勾函数“性质可知答案：D小炼有话说：本题由于，所以对于不能使用均值不等式，而要通过换元转换为常见函数求得值域例5：若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线斜率的取值范围是___________思路：本题的关键在于如何将“至少三个符合条件的不同的点”这个条件与找到联系。通过图像可知该条件与圆心到直线的距离相关。圆方程为：，即圆心为，半径，作出图像可知若至少有三个不同的点到直线距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，所以，即解不等式：，解得：答案：例6：直线与圆交于不同的两点，且，其中是坐标原点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.思路：不妨设的中点为，则可知，从而，在圆中，可知为圆心到的距离，即弦心距。由圆中弦，半径，弦心距的关系可得：，代入可得：，解得：，即，所以答案：D例7：在平面直角坐标系中，已知圆，点是轴上的一个动点，分别切圆于两点，则线段的取值范围是（）A.B.C.D.思路：如图设交于，则有，只需确认的范围即可，由圆方程可得，设，所以，在中，可得：，所以，下面确定的范围。设，因为，所以，从而解得。