圆及直线与圆的位置关系讲义及例题.docx

6．直线、圆的方程及其位置关系
一．直线的方程即表达式
①点斜式——已知直线上一点(x0,y0)和斜率k
可以写成：
y-y0=k(x-x0)
注：这里k可以等于0，但是当k不存在时，则此时的方程为x=x0.
②斜截式——已知斜率k和截距b
截距就是直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b。
形式：
y=kx+b
注：同上
③两点式——已知直线上的两点（x1，y1)、（x2，y2)
当x1≠x2则他们的斜率是：k=y2-y1x2-x1
有点斜式得方程：
y-y1=k(x-x1)→y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)
当y1≠y2时也可以写成y-y1y-y1=x-x1x2-x1（x1≠x2且y1≠y2）
④一般式——可以表示平面内任意一条直线表达式：Ax+By+C=0（A、B不同时为0）

二．直线的交点坐标和距离公式
①两条直线的交点坐标
因为交点既满足直线1也满足直线2，联立方程求解出x，y即可得到交点坐标。
A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0
注：这两条直线平行，则没有交点；这两条直线是同一条直线，则交点有无数个。
②两点间的距离
已知两点坐标P1(x1，y1)、P2（x2，y2)这两点的距离;
|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2
③点到直线的距离
已知直线的方程Ax+By+C=0，和点P0(x0，y0)
则点P0到直线的距离:（推导）
d=|Ax0+By0+C|A2+B2

三．圆的方程
①圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
(a,b)是圆心坐标，r是圆的半径。
②圆的一般方程——展开式
假设方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,配方得到：
（x+D2)2+（y+E2)2=D2+E2-4F4
圆心有了，此时如果要上面方程能表示圆，则其半径要大于零才行。即：
当D2+E2-4F>0时，上述方程是以（-D2，-E2）为圆心D2+E2-4F2为半径的圆；
当D2+E2-4F=0时，上述方程是一个点（-D2，-E2）；
当D2+E2-4F<0时，上述方程无解，不表示任何图形。
则当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程。

四．直线和圆的位置关系。
三种位置关系：相交、相切、相离
判断方法：①联立方程看解的个数；
②求圆心到直线的距离与r的大小关系。
注：这两种方法也适用于圆与圆的位置关系的判断，只要将第二种改为圆心到圆心的距离与r1+r2的大小关系。

直线与圆的位置关系练习题
选择题
1、已知两点O(0,0),A(4,－1)到直线mx+m2y+6=0的距离相等,则实数m可取的不同值共有()
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

2、直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是（）.
(A)直线与圆相切(B)直线与圆相交但不过圆心
(C)直线与圆相离(D)直线过圆心

3、点是圆内不为圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是()
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交

4、直线截圆所得弦长等于4，则以|a|、|b|、|c|为边长的确良三角形一定是 （）（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）不存在

5、已知两点A(–2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2–2x=0上的任意一点,则△ABC面积的最小值是（）
(A)(B)(C)(D)

6、已知集合及
，则实数b的取值范围是（）
（Ａ）[–5,5]（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）

7、若曲线x2+y2+a2x=(1–a2)y–4=0关于直线y–x=0的对称曲线仍是其本身，则实数a=（）．
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）

8、若圆上有且仅有两个点到直线4x+3y=11的距离等于1，则半径R的取值范围是（）．
（A）R>1（B）R<3（C）1<R<3（D）R≠2

二、填空题
9、已知圆交于A、B两点，则AB所在的直线方程是_______________________。
10、直线上的点到圆的最近距离是。
11、已知圆的方程是x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为。
12、过P（－2，4）及Q（3，－1）两点，且在X轴上截得的弦长为6的圆方程是

三、解答题
13、设正方形ABCD的外接圆方程为x2+y2–6x+a=0(a<9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l的斜率为,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率。

14、设圆的方程为，直线的方程为．
（1）求关于对称的圆的方程；
（2）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程．

15、已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。