2014高考数学理复习方案 二轮作业手册（新课标&通用版）专题限时集：第19讲 几何证明选讲 WORD版含解析.doc

专题限时集训(十九)[第19讲几何证明选讲](时间：30分钟)1．如图X19－1所示，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，且BC是圆O的直径，直线MN与圆O相切于点A.(1)若∠MAB＝30°，且圆O的面积为π，求AB的长；(2)在(1)的条件下，求梯形ABCD的周长．图X19－12．如图X19－2所示，已知AB是圆O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD.(1)求证：直线CE是圆O的切线；(2)求证：AC2＝AB·AD.图X19－23．如图X19－3所示，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E.(1)求证：∠ADE＝∠AED；(2)若AC＝AP，求eq\f(PC,PA)的值．图X19－34．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F，使得DE＝BE，FE＝CE，点O是△ADF的外心．(1)求证：D，E，F，O四点共圆；(2)求证：O在∠DEF的平分线上．图X19－4专题限时集训(十九)1．解：(1)由圆O的面积为π可得其半径为1，联结AC，因为BC是圆O的直径，所以∠BAC＝90°，再由弦切角定理可得∠ACB＝∠MAB＝30°.在Rt△ABC中，易得AB＝eq\f(1,2)BC＝1.(2)因为∠ACB＝∠MAB＝30°，又因为AD∥BC，所以∠CAD＝∠ACB＝30°.根据相同的圆周角所对弦相等可得CD＝AB＝1.过A作AE⊥BC于点E，则AE＝AB·sin60°＝eq\f(\r(3),2)，BE＝eq\f(1,2)，则AD＝BC－2BE＝2－1＝1，故梯形ABCD的周长为AD＋DC＋CB＋BA＝5.2．证明：(1)联结OC，因为OA＝OC，所以∠OCA＝∠OAC.又因为AD⊥CE，所以∠ACD＋∠CAD＝90°，又因为AC平分∠BAD，所以∠OAC＝∠CAD，所以∠OCA＋∠ACD＝90°，即OC⊥CE，所以CE是⊙O的切线．(2)联结BC，因为AB是圆O的直径，所以∠BCA＝∠ADC＝90°，因为∠OAC＝∠CAD，所以△ABC∽△ACD，所以eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，即AC2＝AB·AD.3．解：(1)证明：因为PA是切线，AB是弦，所以∠BAP＝∠C.又因为∠APD＝∠CPE，所以∠BAP＋∠APD＝∠C＋∠CPE.因为∠ADE＝∠BAP＋∠APD，∠AED＝∠C＋∠CPE，所以∠ADE＝∠AED.(2)由(1)知∠BAP＝∠C，又因为∠APC＝∠BPA，所以△APC∽△BPA.所以eq\f(PC,PA)＝eq\f(CA,AB).因为AC＝AP，所以∠APC＝∠C.所以∠APC＝∠C＝∠BAP.由三角形内角和定理可知，∠APC＋∠C＋∠CAP＝180°.因为BC是圆O的直径，所以∠BAC＝90°.所以∠APC＋∠C＋∠BAP＝180°－90°＝90°.所以∠C＝∠APC＝∠BAP＝eq\f(1,3)×90°＝30°.在Rt△ABC中，eq\f(1,tanC)＝eq\f(CA,AB)，即eq\f(1,tan30°)＝eq\f(CA,AB)，所以eq\f(CA,AB)＝eq\r(3).所以eq\f(PC,PA)＝eq\f(CA,AB)＝eq\r(3).4．证明：(1)由DE＝BE，FE＝CE得∠EDB＝∠B，∠EFC＝∠C，则∠DEF＝180°－(180°－2∠B)－(180°－2∠C)＝180°－2∠A.因此∠A是锐角，从而△ADF的外心与顶点A在DF的同侧，联结OD，OF，从而∠DOF＝2∠A＝180°－∠DEF.因此D，E，F，O四点共圆．(2)由O是△ADF的外心知，OD＝OF.又由(1)知D，E，F，O四点共圆，则∠DEO＝∠DFO＝∠FDO＝∠FEO，即O在∠DEF的平分线上．