固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后11到13题答案.pdf

11．设有一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子的作用，试求格波的色散关系。解：第n个原子位移x，第n+p个位移x，第n-p个位移x（P=1，nn+pn-p2，3，……）。设最近邻原子间力常数为β，次近邻β，再次近邻β，……β123p1简谐近似下(由书P47，式3.1.6)：UUx204ijijijd2xU第n个原子的运动方程：Mn(xx)dt2xininnin第n+p和第n-p个原子对第n个原子的作用力：f(xx)(xx)(xx2x)ppnpnpnnppnpnpn第n个原子总的受力：f(xx2x)ppnpnpnppd2x运动方程：Mn(xx2x)dt2pnpnpnp试探解：xAei(naqt)n代入运动方程：2Mx(xeipaqxeipaq2x)npnnnpx0M2(2cospaq2)npp2所以色散关系为：2(q)(1cospqa)Mpp12.设有一维双原子晶格，最近邻原子间的力常数交错地等于β和10β，假定两种原子的质量相等，最近邻原子间距为a/2，试求格波的色散关系。解：同一维单原子类似，可写出两种原子的运动方程d2uMn10v10v2udt2n1nnd2vMnuu210vdt2nn1n试探解为uAei(naqt)nvBei(naqt)n代入运动方程有：2Mu10veiaq10v2unnnn2Mvuueiaq20vnnnn将u、v代入消去公因子i(naqt)得nneM2A10eiaqB10B2AM2BAeiaqA20B整理，化为关于A、B的线性方程组(2M2)A10(1eiaq)B0(1eiaq)A(20M2)B0A，B有非零解的条件是上式系数行列式等于零，即2M210(1eiaq)0(1eiaq)20M2有(2M2)(20M2)10(1eiaq)(1eiaq)04022M220M2M241022(1cosaq)0即22M2M24202(1cosqa)0解出：112(q)22M[(22M)24M2202(1cosqa)]22M21[11(10120cosqa)2]M13.求出一维单原子晶格的模密度，并导出在低温下晶格比热与温度关系。解：（1）我们用另一种算法求一维单原子模密度：l一维时模密度g()dq((q))22一维色散关系2(q)(1cosqa)MMcosqa1222对色散关系两边同时微分有2(q)d(q)[0(sinqa)adq]M(q)d(q)dqa[1cos2qa]1/2M(q)d(q)Ma[1(12)2]1/2M2(q)d(q)MM2a[24]1/2M(2)2l所以模密度g()dq((q))2l(q)d(q)2((q))2MM20a[2(q)4(q)]1/2M(2)2MlaMM2[24]1/2(2)2Ml2l1aM24a4[2(2)]1/2(2)1/242MM42l12N令2，则有g()[22]1/2Mma(22)1/2mm同前面的加2一致。（2）下面看比热：E晶格比热C()VTV由P63（3.6.8）由模密度表示的E为1Eg()d()/kT2eB11Cg()d()V/kTT2eB11e/kT()122NkTd(22)2Bm/kT2(eB1)/kT2eBk()1B2NkTd(22)2Bm/kT2(eB1)令xTx,mTxkTkBBmdTdxdddxkTTmBm2Nkmx2exCBdV122x20[1()]2(e1)mmTx2ex2Nk/TmBdxT122x20[1(x)]2(e1)m2NkT/Tx2exBdxT10[1(x)2]2(ex1)2T令x1m令2y113展开(1y)1/21yy2....224T113[1(x)2]1/21(2)(2)2..