固体物理基础吴代鸣之高教课后到题答案.docx

本章习题

P272习题

1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.

说明：
C是上下底面距离，a是六边形边长。

分析：
首先看是怎样密堆的。
如图(书图1.10(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。
（同一面上有6个，上下各有3个）
上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。球心之间距离为a。
所以球心之间即格点之间距离均为a（不管是同层还是上下层之间）。

证明：
如图OA=a，OO’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a
O’是ΔABC的三垂线交点

（由余弦定理

2．若晶胞基矢互相垂直，试求晶面族（hkl）的面间距。

一、分析：
我们想到倒格矢与面间距的关系。
倒格矢与晶面族（hkl）的关系
写出与正格子基矢的关系。即可得与晶面族（hkl）垂直的倒格矢。进而求得此面间距d。

二、解：
互相垂直，可令
晶胞体积
倒格子基矢：

而与（hkl）晶面族垂直的倒格矢
故（hkl）晶面族的面间距

3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？

分析：
考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）
体积最小的重复结构单元
只包含一个格点
能反映晶格的周期性
应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
原胞反映周期性，在空间无空隙无交叠排列成晶格。
我们不容易看出哪几个原子组合成一个格点。
我们可先分析晶胞是否组成复式格子？何种格子组成的复式格子？是由几层套构而成的？
我们知道如果是体心立方，将是两个简立方套构而成的二重复式格子。
如果是面心立方，将有对面面心处的原子构成三重简立方格子；加上顶点处是四重简立方格子。
这样，我们的题中是体心加面心，面心的四重格子加上体心处的原子构成的一重格子，故应是五重简立方的复式格子。所以布拉菲晶格是简单立方格子。
这样可将体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为一个组合形成一个格点，即由5个原子形成一个格点，亦即基元是选这样的原子组合。最后格点的原胞是简立方，每个原胞含一个格点，每个格点含五个原子。故每个原胞含有5个原子。

答：
通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。
体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。

4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。

一．（111）面

分析：
先分析有几个原子？
如图（书图1.12，P10）。
（111）面由3顶点连线组成的面。3个顶点原子，每个贡献1/6，3个面心原子，每个贡献1/2，共6原子，每个（111）面有个原子。
求出（111）面面积可得原子面密度。

解：
平均每个（111）面有个原子。
（111）面面积
所以原子面密度

二．（110）面

分析：
如图（书图1.12，P10）。
（110）面是四顶点组成的面。
分析有几个原子？
4个顶点原子，每个贡献1/4（上下两层，每层两个单胞中的（110）共用一个顶点）；2个面心原子，每个贡献1/2。
共6个原子，平均每个（110）面有原子。再求出（110）面积即可。
解：
平均每个（110）面有个原子。
（110）面面积
所以（110）面原子面密度

5．设二维矩形格子的基矢为，试画出第一、二、三、布里渊区。

解：
倒格子基矢：

所以倒格子也是二维矩形格子。方向短一半。
最近邻
次近邻
再次近邻
再再次近邻
做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：
第一布里渊区是一个扁长方形；
第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成；
第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。

6．六方密堆结构的原胞基矢为：

试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。

分析：
从前面的学习我们已经知道，六方密堆结构是两个简单六方格子复合成的二重复式格子。所以原胞为简单六方结构。

解：
原胞为简单六方结构。原胞体积：

倒格子基矢：

由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。（注意：倒格子是简单六方，而不是六方密堆）
选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。
次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。
再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。
所以第一布里