常微分方程与差分方程知识点.pdf

常微分方程与差分方程知识点考试纲要常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程微分方程的简单应用差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程考试要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法3、会解二阶常系数齐次线性微分方程4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法7、会用微分方程求解简单的经济应用问题重要知识点1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同2、变量可分离微分方程解法g(y)dyf(x)dx→g(y)dyf(x)dx→G(y)F(x)C3、齐次微分方程解法dyyydudxy()→设u→→再用代替udxxx(u)uxx附：可化为齐次的方程cc0,可化为齐次微分方程1abxXh设带入原方程解出可化为齐次微分方程0,,h,k,abyYkdyaxbyc11abdyaxbycdxaxbycc或c0设11,,令axbyv,1111ababdx(axby)c0,1abdv11则可化为的变量可分离微分方程dx4、一阶线性微分方程解法dy齐次方程通解:P(x)y0yCeP(x)dxdydxP(x)yQ(x)dx特解（常数变异法）:yu(x)eP(x)dx,代入原方程解出u(x)Q(x)eP(x)dxdxCP(x)dxP(x)dxyeQ(x)edxCdyP(x)dxQ(x)个人总结：对于P(x)yQ(x)，首先计算ue，通解为yudxCdxu5、线性微分方程解的性质及解的结构定理定理1：如果函数y(x)与y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解，那么yCy(x)Cy(x)也是121122该方程的解，其中C,C是任意常数（不一定是通解）12定理2：如果函数y(x)与y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的特解，那么12yCy(x)Cy(x)（C,C是任意常数）是该方程的通解112212定理3：设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解，Y(x)是该方程对应的齐次方程的通解，那么y(x)Y(x)y*(x)是该二阶非齐次线性方程的通解定理4（叠加原理）：设齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的f(x)可以分解为两个函数的和，即f(x)f(x)f(x)，而y*(x)与y*(x)分别是方程yP(x)yQ(x)yf(x)与12121yP(x)yQ(x)yf(x)的特解，那么y*(x)y*(x)就是原方程的特解2126、二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的求解步骤：第一步：写出特征方程r2pxq0；第二步：求特征方程的两根r,r；12第三步：根据根的情况，按下表写出通解根的情况通解rxrx两个不相等实根r,ryCe1Ce21212rx两个相等实根rry(CCx)e11212一对共轭复根riyeax(CcosxCsinx)1,2127、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)待定系数法求特解（1）f(x)exP(x)m特解形式：y*xkQ(x)exm不是特征方程的根，k0是特征方程的单根，k1是特征方程的重根，k2（2）f(x)exP(x)cosxP(x)sinxln*kx特解形式：yxeQ(x)cosxR(x)sinx，mmaxl,nmmi不是特征方程的根，k0i是特征方程的单根，k1个人总结：自由项为多项式f(x)exP(x)，0m自由项为指数函数f(x)exP(x)，P(x)1mmx自由项为正弦函数f(x)eP(x)cosxP(x)sinx，0,P(x)0,P(x)1lnln*k特解设为yxacosxbsinxx自由项为余弦函数f(x)eP(x)cosxP(x)sinx，0,P(x)1,P(x)0lnln特解设为y*xkacos