华东师范大学2004数学分析解答.pdf

华东师范大学2004数学分析一、（30分）计算题。x211、求lim(cosx)x2x02xx2解：cosx12sin2~1(x0)22111x2(1)lim(cosx)x2lim(1x2)x2lim(1x2)x2e1x02x0x02、若yeln2xxsin(arctanx)),求y'.2lnx1解：y'eln2xsin(arctanx)xcos(arctanx)x1x2xex3、求dx.(1x)2解：xex1xex(xex)'xexxexdxxexd=-dx-exdx=exc(1x)21x1x(1x)21x1x4、求幂级数nxn的和函数f(x).n1解:|x|1时(nxn1)'(n1)xn=nxn+xnn0n0n0n0x111xnxn=(nxn1)'-xn=()'1x1x(1x)21x(1x)2n0n0n05、L为过O(0,0)和A(,0)的曲线yasinx(a0),求(xy3)dx(2y)dy.2Lyasinx,dydasinxacosxdx(xy3)dx(2y)dy=2xdx+a32sin3xdx+2a2cosxdx+a22sinxcosxdxL000022a3a2=2a8326、求曲面积分(2xz)dydzzdxdy,其中zx2y2,(0z1),取上侧.S解：应用Gauss公式，并应用极坐标变换得：(2xz)z(2xz)dydzzdxdy=()dxdydzSxzV3=3dxdydz31dzzdr2rd.0002V二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）1、若{x,n1,2,,}是互不相等的非无穷大数列，则{x}至少存在一个聚点x(,).nn0正确。{x}在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{x}至少存在一个聚点nnx(,).02、若f(x)在(a,b)上连续有界，则f(x)在(a,b)上一致连续.正确。证：f(x)在(a,b)上连续有界，故limf(x)与limf(x)都有存在，不妨设为A,B.xaxbA,xa设F(x)f(x),x(a,b)B,xb则F(x)在[a,b]上连续，从而F(x)一致连续，故f(x)在(a,b)上一致连续。1nii13、若f(x),g(x)在[0,1]上可积，则limf()g()1f(x)g(x)dx.nnnn0i1正确。证：f(x),g(x)在[0,1]上可积，故对x[0,1],M0,|f(x)|M,且f(x)g(x)在上也可积，对01nii11nii1nii1i|f()g()f()g()||f()[g()g()]|nnnnnnnnnni1i1i1Mni1iM|[g()g()]||g(1)g(0)|nnnni11nii1nii11nii故f()()f()g()f()()nnnnnnnnni1i1i1两边对n分别取极限11nii11f(x)g(x)dxf()g()f(x)g(x)dx0nnn0i11nii11由夹逼性知limf()g()f(x)g(x)dx.nnnn0i14、若a收敛，则a2收敛.nnn1n1(1)n11错误。反例收敛,但发散.nnn1n15、若在R2上定义的函数f(x,y)存在偏导数f(x,y),f(x,y)且f(x,y),f(x,y)在(0,0)上连续，xyxy则f(x,y)在(0,0)上可微.正确证：zf(0x,0y)f(0,0)=(f(0x,0y)f(0,0y))(f(0,0y)f(0,0))=f(0x,0y)xf(0,0y)yx1y2有f(x,y),f(x,y)在(0,0)上连续，xyf(0x,0)f(0,0),f(0,0y)f(0,0)1x2y当(x,y)(0,0)时，,0，zf(0,0)xf(0,0)yxyxy根据定义，可知f(x,y)在(0,0)上可微.6、f(x,y)在R2上连续,D(x,y){(x,y)|(xx)2(yy)2r2}若r0000(x,y),r0,f(x,y)dxdy0,则f(x,y)0,(x,y)R2.00Dr解：错误将D(x,y)划分为两部分，其中r00D(x,y)