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华东师范大学2004年数学分析考研试题

一.（30分）计算题
（1）求；
（2）若求.
（3）求.
（4）求幂级数的和函数.
（5）L为过和的曲线，
求:
（6）求曲面积分
其中取上侧.
二（30分）判别题（正确的证明，错误的举反例）
1.若是互不相等的非无穷大数列，则至少存在一个聚点
2.若在上连续有界，则在上一致连续.
3.若在上可积，则:

4.若收敛，则收敛.
5.若在上定义的函数存在偏导数，且在上连续，则在上可微.
6.在上连续，
若

则.
三.（15分）函数在上连续且，求证：在上有最大值或最小值.
四（15分）求证不等式：
五（15分）设在上连续且在上一致收敛于,若,求证：
使
六（15分）设满足：
（1）
（2）级数收敛。求证：.
七（15分）若函数在上一致连续，求证：在上有界.
八（15分）设在有连续偏导数，而且对以任意点为中心，以任意正数为半径的上半球面

恒有:

求证：

华东师范大学2004数学分析考研试题及解答
一、（30分）计算题。
1、求
解：

2、若求.
解：

3、求.
解：
=--=
4、求幂级数的和函数.
解:时
=+
=-=
5、为过和的曲线,求

=+++
=
6、求曲面积分,其中,取上侧.
解：应用Gauss公式，并应用极坐标变换得：
=
=.
二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）

1、若是互不相等的非无穷大数列，则至少存在一个聚点
正确。在数轴上对应的点集必有界无限的子点集，故由聚点定理，点集至少存在一个聚点
2、若在上连续有界，则在上一致连续.
解错误.反例在上连续,且有界,但在上不一致连续.

3、若,在上可积，则.
解正确。
证：,在上可积，故对且在上也可积，

,
故,

.
4、若收敛，则收敛.
解错误。反例收敛,但发散.

5、若在上定义的函数存在偏导数,,且,在(0,0)上连续，则在(0,0)上可微.
解正确.书上的定理
证：
=
=
有,在(0,0)上连续，
,
当时，，

根据定义，可知在(0,0)上可微.

6、在上连续,,
若则
解：正确.
用反证法,假若存在一点,使得,不妨设,
则存在,使得在上有,
于是,矛盾.

三、（15分）函数在上连续，且求证：在上有最大值或最小值。
证：1)若，显然在同时有最大、最小值.
2)设不为常数,则,
使得或,
当时,
由函数在上连续，且知在上有界,
当时,在上,
再由存在,当时,有,
所以,

由在上连续,所以在上连续，由最值定理知存在,使得最大.
同理当时,在上有最小值。
结论得证.

四、（15分）求证不等式:
证：令,则,对,有
,
因此在上单调递减且连续,又
.
故由介值定理知存在,使得

那么在上单调递增,在上单调递减.
因此可在端点处取得最小值,又.
所以在上
,即

五、设,在上连续,且在上一致收敛于.
若,.求证:使,,
证:由函数列的每一项在连续且一致收敛于,可知在上也连续,因此有界.不妨设,
因为对任意,有.所以
在上一致收敛于,即对对有

当取时,有

对上述则(1)式成立,且

六、（15分）设满足（1）（2）级数收敛.
求证:.
证：级数收敛，由级数收敛的柯西准则：对任何,有
(1)
由于
那么
(2)
而当充分大时,成立，故

因此有.

七、（15分）若函数在上一致连续，求证：在上有界.
证:1)由函数在上一致连续
对,
,对,且满足时,有
,
特别有,
于是
,()
对任意,存在,使得,

,
故有,
即得在上有界.

八、（15分）设在有连续偏导数，而且对以任意点为中心，以任意正数为半径的上半球面
恒有,
求证:,有
证明记

在中,
令,则有,于是

进而,
在中,令,则有,
故,有