华东师范大学2004数学分析解答.pdf

华东师范大学2004数学分析
一、（30分）计算题。

x21
1、求lim(cosx)x2
x02

xx2
解：cosx12sin2~1(x0)
22

111
x2(1)
lim(cosx)x2lim(1x2)x2lim(1x2)x2e1
x02x0x0

2、若yeln2xxsin(arctanx)),求y'.
2lnx1
解：y'eln2xsin(arctanx)xcos(arctanx)
x1x2

xex
3、求dx.
(1x)2

解：

xex1xex(xex)'xexxex
dxxexd=-dx-exdx=exc
(1x)21x1x(1x)21x1x


4、求幂级数nxn的和函数f(x).
n1

解:|x|1时


(nxn1)'(n1)xn=nxn+xn
n0n0n0n0

x111x
nxn=(nxn1)'-xn=()'
1x1x(1x)21x(1x)2
n0n0n0

5、L为过O(0,0)和A(,0)的曲线yasinx(a0),求(xy3)dx(2y)dy.
2L

yasinx,dydasinxacosxdx


(xy3)dx(2y)dy=2xdx+a32sin3xdx+2a2cosxdx+a22sinxcosxdx
L0000

22a3a2
=2a
832

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6、求曲面积分(2xz)dydzzdxdy,其中zx2y2,(0z1),取上侧.
S
解：应用Gauss公式，并应用极坐标变换得：
(2xz)z
(2xz)dydzzdxdy=()dxdydz
Sxz
V

3
=3dxdydz31dzzdr2rd.
0002
V
二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）

1、若{x,n1,2,,}是互不相等的非无穷大数列，则{x}至少存在一个聚点x(,).
nn0

正确。{x}在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集{x}至少存在一个聚点
nn

x(,).
0

2、若f(x)在(a,b)上连续有界，则f(x)在(a,b)上一致连续.

正确。
证：f(x)在(a,b)上连续有界，故limf(x)与limf(x)都有存在，不妨设为A,B.
xaxb
A,xa

设F(x)f(x),x(a,b)

B,xb

则F(x)在[a,b]上连续，从而F(x)一致连续，故f(x)在(a,b)上一致连续。

1nii1
3、若f(x),g(x)在[0,1]上可积，则limf()g()1f(x)g(x)dx.
nnnn0
i1
正确。

证：f(x),g(x)在[0,1]上可积，故对x[0,1],M0,|f(x)|M,且f(x)g(x)在上也可积，

对0

1nii11nii1nii1i
|f()g()f()g()||f()[g()g()]|
nnnnnnnnnn
i1i1i1

Mni1iM
|[g()g()]||g(1)g(0)|
nnnn
i1

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1nii1nii11nii
故f()()f()g()f()()
nnnnnnnnn
i1i1i1

两边对n分别取极限

11nii11
f(x)g(x)dxf()g()f(x)g(x)dx
0nnn0
i1

1nii11
由夹逼性知limf()g()f(x)g(x)dx.
nnnn0
i1


4、若a收敛，则a2收敛.
nn
n1n1

(1)n11
错误。反例收敛,但发散.
nn
n1n1

5、若在R2上定义的函数f(x,y)存在偏导数f(x,y),f(x,y)且f(x,y),f(x,y)在(0,0)上连续，
xyxy

则f(x,y)在(0,0)上可微.

正确

证：zf(0x,0y)f(0,0)

=(f(0x,0y)f(0,0y))(f(0,0y)f(0,0))

=f(0x,0y)xf(0,0y)y
x1y2

有f(x,y),f(