等差数列等比数列知识点梳理.pdf

等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，那么称这个数列为等差数列，记：aad〔d为公差〕〔n2，nN*〕nn12、等差数列通项公式：aa(n1)d，a为首项，d为公差n11推导过程：叠加法推广公式：aa(nm)dnmaa变形推广：dnmnm3、等差中项ab〔1〕如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a及b的等差中项．即：A2或2Aab（2）等差中项：数列a是等差数列2aaa(n2)2aaannn-1n1n1nn24、等差数列的前n项和公式：n(aa)n(n1)S1nnadn212d1n2(ad)nAn2Bn212前N相和的推导:当mnpq时,那么有aaaa，特别地，当mnpqmn2p时，那么有aa2a。〔注：aaaaaa，〕当mnp1n2n13n2然扩大到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数一样，下标系数之和相等。5、等差数列的判定方法〔1〕定义法：假设aad或aad(常数nN)a是等差数nn1n1nn列．〔2〕等差中项：数列a是等差数列n2aaa(n2)2aaann-1n1n1nn2〔3〕数列a是等差数列aknb〔其中k,b是常数〕。nn〔4〕数列a是等差数列SAn2Bn,〔其中A、B是常数〕。nn6、等差数列的证明方法定义法或者等差中项发a是等差数列．n7、等差数列相关技巧：〔1〕等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a、d、n、1a及S，其中a、d称作为根本元素。只要这5个元素中的任意3个，便可求nn1出其余2个，即知3求2。〔2〕设项技巧：①一般可设通项aa(n1)dn1②奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…〔公差为d〕；③偶数个数成等差，可设为…，a3d,ad,ad,a3d,…〔注意；公差为2d〕8、等差数列的性质：〔1〕当公差d0时，等差数列的通项公式aa(n1)ddnad是关于n的n11n(n1)dd一次函数，且斜率为公差d；前n和Snadn2(a)n是关于nn12212的二次函数且常数项为0。〔2〕假设公差d0，那么为递增等差数列，假设公差d0，那么为递减等差数列，假设公差d0，那么为常数列。〔3〕当mnpq时,那么有aaaa，特别地，当mn2p时，那mnpq么有aa2a。〔注：aaaaaa，〕当然扩大到3项、4mnp1n2n13n2项……都是可以的，但要保证等号两边项数一样，下标系数之和相等。〔4〕a、b为等差数列，那么ab，ab都为等差数列nnn1n2n【新数列可以化为一次函数的形式】(5)假设{a}是等差数列，那么S,SS,SS，…也成等差数列nn2nn3n2n推导过程：(6)数列{a}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(a,a,a,a,)仍nmmkm2km3k为等差数列推导过程：aA〔7〕a、{b}的前n和分别为A、B，那么n2n1nnnnbBn2n1（8）等差数列{a}中，n假设Sn，Sm，那么Smn〔1〕mnmn假设am,an，那么a0〔2〕nmmn推导：SAn2Bn解出A和B就可以推导出〔1〕n〔2〕式直接用推广公式即可(9)求S的最值n法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。法二：〔1〕“首正〞的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和a0即当a0，d0，由n可得S到达最大值时的n值．1a0nn1〔2〕“首负〞的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。a0即当a0，d0，由n可得S到达最小值时的n值．1a0nn1或求a中正负分界项n法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，S取最大值〔或最小值〕。npq假设S=S那么其对称轴为npq2等比数列的相关公式和性质a1、等比数列的定义：nqq0n2，q为公比an12、通项公式：aaqn1，a为首项，q为公比n11推广公式：aaqnmnmaqnmnam3、等比中项〔1〕如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a及b的等差中项．即：A2ab或Aab同号的两个数才有等比中项，并且它们的等注意：比中项有两个〔两个等比中项互为相反数〕〔2〕数