等差数列、等比数列知识点梳理.pdf

等差数列和等比数列知识点梳理第1节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：anan1d（d为公差）（n2，nN*）注：下面所有涉及n，nN*省略，你懂的。2、等差数列通项公式：ana1(n1)d，a1为首项，d为公差推广公式：anam(nm)daa变形推广：dnmnm3、等差中项（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中ab项．即：A或2Aab2（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan24、等差数列的前n项和公式：n(aa)n(n1)S1nnadn212d1n2(ad)nAn2Bn212（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项2n1aaS12n12n1a（项数为奇数的等差数列的各2n12n1项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN)an是等差数列．（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2（3）数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。2（4）数列an是等差数列SnAnBn,（其中A、B是常数）。6、等差数列的证明方法定义法：若anan1d或an1and(常数nN)an是等差数列．7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：①一般可设通项ana1(n1)d②奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…（公差为d）；③偶数个数成等差，可设为…，a3d,ad,ad,a3d,…（注意；公差为2d）8、等差数列的性质：（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；n(n1)dd前n和Snadn2(a)n是关于n的二次函数且常n12212数项为0。（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap。（注：a1ana2an1a3an2，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。（4）an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列(5)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，…也成等差数列*(6)数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列anA2n1（7）an、{bn}的前n和分别为An、Bn，则bnB2n1（8）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn，当然也有anm,amn，则amn0(9)求Sn的最值法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和an0即当a10，d0，由可得Sn达到最大值时的n值．an10（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。an0即当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值．an10或求an中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，pqS取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为nn2注意：SnSn1an(n2)，对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当n1的情况。解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）第2节：等比数列的相关公式和性质a1、等比数列的定义：nqq0n2，q为公比an12、通项公式：n1ana1q，a1为