等差数列等比数列知识点梳理.docx

等差数列和等比数列知识点梳理
：等差数列的公式和相关性质
等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：（d为公差）（，）

2、等差数列通项公式：，为首项，为公差
推导过程：叠加法

推广公式：

变形推广：

3、等差中项
（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

等差中项：
数列是等差数列

4、等差数列的前n项和公式：

前N相和的推导:当时,则有，特别地，当时，则有。（注：，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法
（1）定义法：若或(常数)是等差数列．

（2）等差中项：数列是等差数列

（3）数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

6、等差数列的证明方法
定义法或者等差中项发是等差数列．

7、等差数列相关技巧：
（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：
①一般可设通项
②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；
③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）

等差数列的性质：
（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0。

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有。（注：，）当然扩充到3项、4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。

（4）、为等差数列，则都为等差数列
【新数列可以化为一次函数的形式】

(5)若{}是等差数列，则，…也成等差数列
推导过程：

(6)数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列
推导过程：

（7）、的前和分别为、，则

等差数列中，
若，，则（1）
若，则（2）
推导：解出A和B就可以推导出（1）
（2）式直接用推广公式即可

(9)求的最值
法一：因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和
即当由可得达到最大值时的值．

（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
即当由可得达到最小值时的值．
或求中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若Sp=Sq则其对称轴为

等比数列的相关公式和性质
等比数列的定义：，为公比

通项公式：
，为首项，为公比

推广公式：

3、等比中项
（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列是等比数列
4、等比数列的前n项和公式：
(1)当时，

(2)当时，
（为常数）
推导过程：

5、等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列
（2）等比中项：（0）为等比数列

（3）通项公式：为等比数列

（4）前n项和公式：
为等比数列

6、等比数列的证明方法
依据定义：若或为等比数列

7、等比数列相关技巧：
（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：
如奇数个数成等比，可设为…，…（公比为，中间项用表示）；注意隐含条件公比的正负

8、等比数列的性质：
(1)当时
①等比数列通项公式是关于的带有系数的类指数函数，底数为公比
②前项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比

(2)对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3)若(),则。特别的,当时,得
(4)列,为等比数列,则数列,,,(k为非零常数)均为等比数列。
【可以化为为等比数列】

(5)数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列

(6)如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列

(7)若为等比数列,则数列，，，成等比数列

若为等比数列,则数列,,成等比数列
备注：和（7）本质上是一样的。

(9)①当时，②当时，
,
③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;
④当q<0时,该数列为摆