广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度与维数的研究.doc

广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度与维数的研究在分形中,测度与维数的估计和计算是十分重要也非常困难的问题.目前为止,除了少数特殊分形的测度与维数被计算出来(如均匀康托集[1]),大部分分形的测度与维数的计算仍然是我们需要解决的难题.即使是作为三大经典自相似集之一的Sierpinski-垫,它的维数计算十分容易,然而它的测度的计算却非常困难.目前为止,Sierpinski-垫的测度计算仅仅得到了S测度的一个上下界.尽管如此,当我们改变Sierpinski垫的压缩比例c时,所得到的这些分形图形随着c在0到1之间逐渐递增也由完全不连通到具有重叠结构,甚至对于某些特殊的c,Sierpinski垫具有完全重叠结构.文献[14]对时的Sierpinski-垫S的测度进行了讨论,得到了此时S的一个上界(此时本文我们讨论了其它取值范围以及时Sierpinski--垫S的测度和维数.对于不同范围的c分别运用不同的方法计算出了它们的维数与测度.特别的当时,运用与S相同的压缩映射族引入了一个广义Sierpinski-垫(记为S*)的概念.S*具有重叠结构,本文给出了S‘的维数与测度的一个上界.第一章绪论中我们简单介绍了分形的定义,S的测度与维数的研究现状,以及本文的主要工作.第二章简要介绍了Hausdorff测度与维数的概念及其性质.第三章介绍了自相似集的结构,自相似维数,开集条件以及具有重叠结构的自相似集等.第四章讨论了压缩比时S的Hausdorff测度与维数.通过投影与构造质量分布,将分形的射影想法融入测度的计算中,将康托集测度的计算过程与Sierpinski-垫测度的计算过程结合起来计算出S的Hausdorff测度：Hs(s)=1.第五章对压缩比时,引入广义Sierpinski-垫的概念,并运用压缩映射族给出了广义Sierpinski-垫S*的构造.证明了S*是自相似集,讨论了S*的重叠结构.得到一个序列集合c={c1,c2…cn,…}(其中ci为方程c1+1+c1+…c-1=0的解).当c∈C时,S*具有完全重叠结构且此时dimBS*<s；而当c(?)C时,S*满足开集条件,此时