广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度与维数的研究的开题报告.docx

广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度与维数的研究的开题报告
题目：广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度与维数的研究
研究意义：
广义Sierpinski-垫是指在传统Sierpinski-垫的构造过程中，将其中的空心三角形替换为任意形状的凸多边形或非凸集合。广义Sierpinski-垫具有在多个领域中的重要应用，如图像处理、地理信息系统、分形图形生成等。本研究旨在研究广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度与维数，深入了解该类分形的性质，为其应用提供理论支持。
研究内容：
本研究将围绕以下内容展开：
1.广义Sierpinski-垫的构造方法及基本性质；
2.Hausdorff测度的定义、性质及计算方法；
3.广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度的计算；
4.广义Sierpinski-垫的维数的计算；
5.模拟实验及图像化展示。
预期成果：
经过本研究的探究，可以得到以下预期成果：
1.深入了解广义Sierpinski-垫的构造与性质；
2.了解Hausdorff测度的概念、性质及计算方法；
3.研究广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度，并运用数值实验进行验证；
4.研究广义Sierpinski-垫的维数，并运用数值实验进行验证；
5.通过图像化展示，直观地展现广义Sierpinski-垫的分形特征。
研究方法：
本研究主要采用数学分析、理论研究以及计算机模拟等方法进行研究，具体包括以下步骤：
1.查阅广义Sierpinski-垫及Hausdorff测度的文献资料，了解基本概念及研究现状；
2.探究广义Sierpinski-垫的构造方法及基本性质，建立数学模型；
3.研究Hausdorff测度的理论及计算方法，进行数值分析；
4.运用数学分析的方法研究广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度及维数；
5.进行实验模拟，通过计算机图像化显示广义Sierpinski-垫的分形特征。
研究难点：
本研究的主要难点在于：
1.广义Sierpinski-垫的构造及性质的研究需要较高的抽象思维能力和数学分析能力；
2.Hausdorff测度的理论及计算方法需要熟练掌握；
3.实验模拟的过程中需要能够运用计算机程序。
时间安排：
本研究预计用时约一年时间，时间安排如下：
1.1-3个月：查阅文献资料并建立数学模型；
2.3-6个月：研究Hausdorff测度的理论及计算方法；
3.6-9个月：研究广义Sierpinski-垫的Hausdorff测度及维数；
4.9-11个月：进行实验模拟，并进行图像化展示；
5.11-12个月：论文撰写及修改。
参考文献：
[1]FalconerK.Fractalgeometry:mathematicalfoundationsandapplications[M].Wiley,2014.
[2]NganHYT.Classifiersandsupportvectormachinesfortextureanalysis[J].Signalprocessingimagecommunication,2009,24(1-2):57-67.
[3]BalajiVR,SaxenaAK.OnFractalImageCoding[J].AdvancesinIntelligentSystemsandComputing,2019,759:193–201.