第10讲-计数原理、概率、随机变量及其分布列(解析版).pdf

第10讲-计数原理、概率、随机变量及其分布列一、高考热点牢记概念公式，避免卡壳1.概率及计算公式(1)古典概型的概率计算公式事件A包含的基本事件数mP(A)＝.基本事件总数n(2)互斥事件的概率：P(A∪B)＝P(A)＋P(B).(3)对立事件的概率：P(A－)＝1－P(A).2.排列、组合数公式n！(1)排列数：Am＝n(n－1)…(n－m＋1)＝.n（n－m）！Amn（n－1）…（n－m＋1）n！(2)组合数：Cm＝n＝＝(n，m∈N*且m≤n).nmAmm！m！（n－m）！3.二项式定理(1)二项式定理＋n＝0n0＋1n－1＋…＋kn－kk＋…＋nn∈*(ab)CnabCnabCnabCnb(nN).(2)二项展开式通项与二项式系数T＝Ckan－kbk，其中Ck(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.k＋1nn4.离散型随机变量的分布列的两个性质≥＝，，…，；＋＋…＋＝(1)pi0(i12n)(2)p1p2pn1.5.离散型随机变量的数学期望与方差数学期望＝＋＋…＋；(1)E(X)x1p1x2p2xnpn方差＝－2＋－2＋…＋－2(2)D(X)(x1E(X))·p1(x2E(X))·p2(xnE(X))·pn.6.相互独立事件、独立重复试验的概率(1)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B).P（AB）(2)条件概率，P(B|A)＝.P（A）次独立重复试验：＝＝kk－n－k(3)nP(Xk)Cnp(1p).活用结论规律，快速抢分11.古典概型的两个特点：(1)有限性；(2)等可能性.2.二项式系数的性质(1)各二项式系数之和①0＋1＋2＋…＋n＝nCnCnCnCn2.②1＋3＋…＝0＋2＋…＝n－1CnCnCnCn2.(2)二项式系数的性质①Cr＝Cn－r，Cr＋Cr－1＝Cr.nnnnn＋1②二项式系数最值：中间一项或中间两项的二项式系数最大.3.离散型随机变量数学期望、方差的性质.(1)期望的性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b：②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；③若X服从两点分布，则E(X)＝p.(2)方差的性质①D(aX＋b)＝a2D(X).②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p).③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p).二、真题再现1．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）1111A．B．C．D．6432【答案】D【解析】【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，1所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．2【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解2题．2．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）23A．B．3521C．D．55【答案】B【解析】【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．【详解】设其中做过测试的3只兔子为a,b,c，剩余的2只为A,B，则从这5只中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B}，{b,c,A},{b,c,B},{b,A,B},{c,A,B}共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种，63所以恰有2只做过测试的概率为，选B．105【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）5112111A．B．C．D．16323216【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重3卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有26情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有C3，所以该重卦恰6C35有3个阳爻的概率为6=，故选A．2616【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问