放缩法在数列不等式证明中的运用.docx

放缩法在数列不等式证明中的运用近两年广东高考理科数学卷的数列解答题第三问都有对放缩法在数列不等式证明中的运用的考查，预计今年即2014年高考里面也会有这方面的考查，所以在平时的教学中不得不加以重视。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.一.先求和后放缩例1.正数数列an的前n项的和Sn，满足2Sn=an+1，试求：（1）数列an的通项公式；（2）设bn=1anan+1，数列bn的前n项的和为Bn，求证：Bn解：（1）由已知得4Sn=（an+1）2，n≥2时，4Sn-1=（an-1+1）2，作差得：4an=a2n+2an-a2n-1-2an-1，所以（an+an-1）（an-an-1-2）=0，又因为an为正数数列，所以an-an-1=2，即an是公差为2的等差数列，由2S1=a1+1，得a1=1，所以an=2n-1（2）bn=1anan+1=1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1），所以Bn=12（1-13+13-15…12n-1-12n+1）=12-12（2n+1）注：一般先分析数列的通项公式.如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式.求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{an}满足条件an+1-an=fn）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和.二.先放缩再求和1.放缩后成等差数列，再求和例2.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a2n+an=2Sn.（1）求证：Sn（2）求证：Sn2解：（1）在条件中，令n=1，得a21+a1=2S1=2a1，a1>0？a1=1，又由条件a2n+an=2Sn有a2n+1+an+1=2Sn+1，上述两式相减，注意到an+1=Sn+1-Sn得（an+1+an）（an+1-an-1）=0an>0？an+1+an>0an+1-an=1所以，an=1+1×（n-1）=n，Sn=n（n+1）2所以Sn=n（n+1）2（2）因为nS1+S2+…Sn=1×22+2×32+…+n（n+1）2=n2+3n22=Sn+1-12；S1+S2+…Sn>12+22+…+n2=n（n+1）22=Sn2注：在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式.如例2要证明的结论n2+3n22、n（n+1）22为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可2.放缩后成等比数列，再求和例3（2012年高考（广东理））设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N+且a1、a2+5、a3成等差数列.（Ⅰ）求a1的值；（Ⅱ）求数列an的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+……+1an解析：（Ⅰ）an=1，解法省略。（Ⅱ）由2Sn=an+1-2n+1+1可得2Sn-1=an-2n+1（n≥2），两式相减，可得2an=an+1-an-2n，即an+1=3an+2，即an+1+2n+1=3（an+2n），所以数列an+2n（n≥2）是一个以a2+4为首项，3为公比的等比数列.由2a1=a2-3可得，a2=5，所以an+2n=9×3n-2，即an=3n-2n（n≥2），当n=1时，a1=1，也满足该式子，所以数列an的通项公式是an=3n-2n.（Ⅲ）因为3n-3n-1=2×3n-1≥2×2n-1=2n，所以3n-2n≥3n-1，所以1an≤13n-1，于是1a1+1a2+……+1an≤1+13+132+……+13n=1-（13n）1-13=321-13n注：上述证法实质上是证明了一个加强命题1a1+1a2+……+1an≤321-13n，该加强命题的思考过程如下：考虑构造一个公比为q的等比数列bn，其前n项和为Tn=b1（1-qn）1-q，希望能得到1a1+1a2+……+1an3.放缩后为裂项相消，再求和例4（2013年高考（广东理））设数列an的前n项和为Sn.已知a1=1，2Snn=an+1-13n2-n-23，n∈N*.（Ⅰ）求a2的值；（Ⅱ）求数列an的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an解析：（Ⅰ）依题意，2S1=a2-13-1-23，又S1=a1=1，所以a2=4；（Ⅱ）当n≥2时，2Sn=nan+1-13n3-n2-23n，2Sn-1=n-1an-13n-13-n-12-23n-1两式相减得2an=nan+1-n-1an-133n2-3n+