(江苏专用)高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第3课时 导数与函数的综合.pdf

word第3课时导数与函数的综合问题题型一导数与不等式有关的问题命题点1解不等式xf′x－fx例1设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，x2则不等式x2f(x)>0的解集是________________.答案(－∞，－2)∪(0，2)fx解析∵当x>0时，′<0，xfxφx∴()＝x为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2).命题点2证明不等式例2(2016·全国丙卷)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；x－1(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<<x；lnx(3)设c>1，证明：当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.1fxfxfxx(1)解由题设，()的定义域为(0，＋∞)，′()＝x－1，令′()＝0，解得＝1.当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.(2)证明由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx<x－1.11xxx故当∈(1，＋∞)时，ln<－1，lnx<x－1，x－1即1<<x.lnx(3)证明由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，c－1lnlnc则g′(x)＝c－1－cxlnc，令g′(x)＝0，解得x＝.0lnc当x<x时，g′(x)>0，g(x)单调递增；0当x>x时，g′(x)<0，g(x)单调递减.01/16c－1由(2)知1<<c，故0<x<1.lnc0又g(0)＝g(1)＝0，故当0<x<1时，g(x)>0.所以当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>cx.命题点3不等式恒成立或有解问题1＋lnxfx例3已知函数()＝x.1(1)若函数f(x)在区间(a，a＋)上存在极值，求正实数a的取值X围；2k(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，某某数k的取值X围.x＋1解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，1－1－lnxlnxf′(x)＝＝－，x2x2令f′(x)＝0，得x＝1；当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减.1所以x＝1为极大值点，所以0<a<1<a＋，211故<a<1，即实数a的取值X围为(，1).22x＋11＋lnxxk(2)当≥1时，≤x恒成立，x＋11＋lnxgx令()＝x，1xxxx1＋ln＋1＋x－＋11＋ln则g′(x)＝x2x－lnx＝.x21hxxxhx再令()＝－ln，则′()＝1－x≥0，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2.所以实数k的取值X围是(－∞，2].引申探究k本题(2)中，若改为存在x∈[1，e]，使不等式f(x)≥成立，某某数k的取值X围.0x＋12/16wordx＋11＋lnxxk解当∈[1，e]时，≤x有解，x＋11＋lnxgx令()＝x，由例3(2)解题知，2g(x)为单调增函数，∴g(x)＝g(e)＝2＋，maxe22∴k≤2＋，即实数k的取值X围是(－∞，2＋].ee思维升华(1)利用导数解不等式的思路已知一个含f′(x)的不等式，可得到和f(x)有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式.(2)利用导数证明不等式的方法证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x).(3)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值X围.②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.x－12(2015·某某)已知函数f(x)＝lnx－.2(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x＞1时，f(x)＜x－1；(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x＞1，当x∈(1，x)时，恒有f(x)＞k(x－1).001－x2＋x＋1fxxx(1)解′()＝x－＋1＝x，∈(0，＋∞).x＞0，由f′(x)＞0，得－x2＋x＋1＞0.1＋5解得0＜x＜.21＋5故f(x)的单调递增区间是0，.2(2)证明令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞).1－x2Fx则有′()＝x.当x∈(1，＋∞)时，F′(x)＜0，3/16所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，故当x＞1时，