高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调性教师用书.pdf

2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第1课时导数与函数的单调性教师用书文北师大版1．函数的单调性如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．2．函数的极值如果函数y＝f(x)在区间(a，x)上是增加的，在区间(x，b)上是减少的，则x是极大值点，000f(x)是极大值．0如果函数y＝f(x)在区间(a，x)上是减少的，在区间(x，b)上是增加的，则x是极小值点，000f(x)是极小值．03．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【知识拓展】(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．(3)对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是函数f(x)在x＝x处有极值的必要不充分条件．00【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内是增加的，那么一定有f′(x)>0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x)＝0是x点为极值点的充要条件．(×)00(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)(6)三次函数在R上必有极大值和极小值．(×)1．(教材改编)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4，＋∞)D．(－∞，0)答案A解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0<x<4，所以递减区间为(0,4)．2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增加的B．在区间(1,3)上f(x)是是减少的C．在区间(4,5)上f(x)是增加的D．当x＝2时，f(x)取到极小值答案C解析在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数；3同理，函数在(1,3)上也不是单调函数；在x＝2的左侧，函数在(－，2)上是增加的，在x2＝2的右侧，函数在(2,4)上是减少的，所以当x＝2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数在这个区间上是增加的．3．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为()A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案A解析令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0，∴g(x)在R上为减函数，g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1，故选A.4．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为()A．(0,1)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案A解析函数的定义域是(0，＋∞)，1x－1fx′()＝1－x＝x，令f′(x)<0，得0<x<1，所以单调递减区间是(0,1)．5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值X围是________．答案(－∞，－1)解析∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.word∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.第1课时导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性1例1(1)函数y＝x2－lnx的递减区间为()2A．(－1,1)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的递增区间是____________．ππ答案(1)B(2