(江苏专用)高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时1 导数与函数的单调性.pdf

(江苏专用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用课时1导数与函数的单调性--课时1导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性lnxfx例1求函数()＝x的单调区间．解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．lnx1－lnx因为f(x)＝，所以f′(x)＝.xx2当f′(x)>0，即0<x<e时，函数f(x)单调递增；当f′(x)<0，即x>e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．思维升华确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．1函数y＝x2－lnx的单调递减区间为____________．2答案(0,1]11x2－1解析y＝x2－lnx，y′＝x－＝2xxx－1x＋1x＝x(>0)．令y′≤0，得0<x≤1，∴递减区间为(0,1]．题型二含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a>0)．(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．解(1)函数f(x)的定义域为R.ex由已知得f′(x)＝－a.ex＋1∵函数y＝f(x)的导函数是奇函数，∴f′(－x)＝－f′(x)，e－xex1即－a＝－＋a，解得a＝.e－x＋1ex＋121/13(江苏专用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用课时1导数与函数的单调性--(江苏专用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2word导数的应用课时1导数与函数的单调性--ex1(2)由(1)知f′(x)＝－a＝1－－a.ex＋1ex＋1①当a≥1时，f′(x)<0恒成立，∴a∈[1，＋∞)时，函数y＝f(x)在R上单调递减．②当0<a<1时，由f′(x)>0得(1－a)(ex＋1)>1，1a即ex>－1＋，解得x>ln，1－a1－a由f′(x)<0得(1－a)(ex＋1)<1，1a即ex<－1＋，解得x<ln.1－a1－a∴a∈(0,1)时，a函数y＝f(x)在(ln，＋∞)上单调递增，1－aa在(－∞，ln)上单调递减．1－a综上，当a≥1时，f(x)在R上单调递减；aa当0<a<1时，f(x)在ln，＋∞上单调递增，在－∞，ln上单调递减．1－a1－a思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数．讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．a－12ax2＋a－1fxfxax解()的定义域为(0，＋∞)，′()＝x＋2＝x.①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；1－a1－a③当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝，则当x∈(0,)时，f′(x)<0；当2a2a1－a1－a1－ax∈(，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,)上单调递减，在(，＋2a2a2a∞)上单调递增．题型三利用函数单调性求参数1a例3设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.322/13(江苏专用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用课时1导数与函数的单调性--(江苏专用)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用课时1导数与函数的单调性--(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，某某数a的取值X围．解(1)f′(x)＝x2－ax＋b，f0＝1，c＝1，由题意得即f′0＝0，b＝0.(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，2即x∈(－2，－1)时，a<(x＋)＝－22，xmax2xx当且仅当＝x即＝－2时等号成立．所以满足要求的a的取值X围是(－∞，－22)．引申探究：在本例3(