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随机过程及应用：预备知识：特征函数.ppt

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一．特征函数的定义及例子注定义5.1设X是定义在(Ω,F,P)上的随机变量,称Ex.1单点分布Ex.5指数分布Ex.6均匀分布证明二．特征函数性质性质5.2随机变量X的特征函数为则Y=aX+b的特征函数是Ex.8设η～N(a,σ2),求其特征函数.性质5.3随机变量X的特征函数在R上一致连续.证定理5.1(波赫纳—辛钦)函数为特征函数的充分必要条件是在R上一致连续,非负定且证仅证连续型情形令t=0，得故三．反演公式及惟一性定理定理5.3（反演公式）设随机变量X的分布函数和特征函数分别为F(x)和推论2若随机变量X的特征函数在R上绝对可积，则X为连续型随机变量，其概率密度为则Ex.9随机变量X在[]上服从均匀分布,Y=cosX,利用特征函数求Y的概率密度.解根据特征函数与分布函数的惟一性定理,知随机变量Y的概率密度为解因四．多维随机变量的特征函数离散型性质5.5二维随机变量(X,Y)的特征函数满足以下性质性质5.6设二维随机变量(X,Y)的特征函数为则证解性质5.7分布函数与恒等的充分必要条件是它们的特征函数与恒等.Ex.12随机变量Y～B(n,p),写出其特征函数.Ex.13若X1,X2,…,Xn相互独立,且Xk～N(0,1),证明也服从N(0,1)分布.