工程随机过程_1_预备知识.pdf

工程随机过程
StochasticProcessesinEngineering
课程内容安排
第一章预备知识
概率论,特征函数
第一节~第五节
第二章随机过程的基本概念和分类
第一节（一、二、三）、第二节
第三章马尔可夫过程
第一节、第二节、第三节、第五节
第四章平稳过程
第一节、第二节、第三节、
第四节、第六节（部分）
第五章时间序列分析
第一节、第二节、第三节
第一章预备知识
概率空间
1.随机试验(试验)
(1)可在相同条件下重复进行;
(2)试验结果不止一个,但能确定所有的可能结果;
(3)一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
具有上述三个特点的试验称为随机试验，记为E。
2.样本空间
随机试验E的所有可能试验结果组成的集合
称为样本空间，记为。
样本点：组成样本空间的元素，即随机试验E
的每个可能结果，记为。
样本点又叫基本事件，所以={}。
3.随机事件(事件)
试验E的样本空间的子集称为E的随机事件，
简称事件，记为A、B等。
即试验E的部分试验结果组成的集合为随机事件。
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样
本点出现时，称这一事件发生。
基本事件：由一个样本点构成的单点集。
必然事件：在每次试验中总是发生的事件。
比如样本空间。
不可能事件：在每次试验中都不发生的事件。
比如空集。
4.事件域(域、代数)
记为一个集合，F为={}的一些子集构
成的集合，若F满足
（F.1）F;
（F.2）若AF,则AF;

（F.3）若可列个AmF,m=1,2,,则AmF;
m1
则称F是中的一个代数或域。
若是样本空间时，则称F为中的一个事件域。
事件域的性质：

（1）F；

（2）若可列个AmF,m=1,2,,则AmF；
m1
（3）若AmF,m=1,2,,n,则
nn
且；
AmFAmF
m1m1
（4）若A、BF,则ABF。
样本空间连同其上定义的-代数F称
为可测空间，记为(,F)。
5.概率的定义
(,F)是个可测空间，在F上定义了一个实

值集函数()，满足A,A1,···,An,···F有
(1)(A)0;(非负性)

(2)若AiAj＝,ij,则

可加性或可列可加性
(Ai)(Ai)(-)
i1i1
称()为可列可加测度。
-代数F上的可数可加测度P若满足
P()=1,则称P为概率测度或概率。
(,F)是个可测空间，概率是定义在F上的

一个实值集函数P()，若满足A,A1,···,

An,···F
(P.1)P(A)0;(non-negative非负性)
(P.2)P()＝1;(normed规范性)

(P.3)若AiAj＝,ij,则

(-additivity可加性)
P(Ai)P(Ai)
i1i1
即:概率是一个规范的、可数可加的测度。
或概率是一个定义在-代数F上的非负的、可数
可加的、规范的实值集函数。
一个三元有序组(,F,P)，其中
(1)为的点集;
(2)F为的子集构成的-代数的集类;
(3)P为定义在F上的概率,
则称(,F,P)为概率模型或概率空间。
为样本空间；
F中的元素A是事件；
P(A)为事件A发生的概率。
6.概率的性质
(1)P()＝0；
(2)有限可加性：

设A1，A2，···An,是n个两两互不相容的事
件，即AiAj＝，(ij),i,j＝1,2,···,n,则有
P(A1A2···An)＝P(A1)＋P(A2)＋···＋
P(An);
(3)单调不减性：
若事件BA，则P(B)≥P(A),
且P(B－A)＝P(B)－P(A)；
(4)互补性：
P(A)1P(A),且P(A)1;
(5)加法公式：
P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
P(ABC)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)
－P(BC)－P(AC)＋P(ABC)
nn
P(Ai)P(Ai)P(AiAj)
i1i11ijnn
n1
P(AiAjAk)(1)P(Ai)
1ijkni1
n
P(Ai)（Bool不等式）
i1
7.条件概率
若(,F,P)为概率空间，BF，且
P(B)>0，则对任意的AF，称
P(AB)
P(A|B)
P(B)
为在已知事件B发生的条件下，事件A发生的
条件概率。
条件概率P(A|B)也是概率，具有概率所具
有的一切性质。
8.完备事件组

事件组A1，A2，···，An(n可为)，称为样
本空间的一个划分(或完备事件组)，若满足：

n
(