数学物理方法概论市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学物理方法概论第四章格林函数1、点源函数法回顾；2、格林函数引入；3、格林函数与函数；4、一维格林函数；5、三维格林函数；6、格林函数在电磁学中应用；7、并矢格林函数§4.1点源函数法回顾§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数§4格林函数G(M,M0)所组成定解问题即基本积分公式变为表示在边界上是绝热，因为边界绝热，从点源出来§4.1点源函数法回顾§4.1点源函数法回顾§4.1点源函数法回顾它描述是点点源在无界空间产生稳定场。以静电场为例，它描述在点电量为点电荷在无界空间中所产生电场在点电势，即在接地导体球内放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。所以，球内电势应为球内电荷直接产生电势与感应电荷所产生电势之和。可将G写为G1则能够由及上式边界条件用分离变量法得到。电像法基本思想：用一构想等效点电荷来代替全部感应电荷，于是可求得G1类似于G0有限形式解。显然，这一等效点电荷不能位于球内，因为感应电荷在球内场满足即球内是无源。又依据对称性，这个等效电荷必位于OM0延长线上某点M1，记等效电荷电量为q，其在空间任意点M引发电势为§4.1点源函数法回顾4.2.1格林函数引入而是一个积分算子核，当这个核来自于包含微分算子方程解时，被称为微分算子在对应边界条件下格林函数，记为：例：方程一样这个方程，改变边界条件为时可见：1、边界条件对格林函数形式影响很大；2、格林函数对称性与边界条件相关，后一个边界下是对称，满足4.2.3微分方程与积分方程§4.2格林函数引入设有算子方程即可得：例：求在区间[0,1]内，算子2、格林函数与函数所以I含有函数性质，从而得到设普通二阶线性微分算子为而在处，G必须连续，因为假如它不连续，就包含一个函数，所以就应包含函数导数，不过（2）式中只有一个函数，所以G是连续。§4格林函数利用G在处连续性，加上（4）式，可得能够证实总不为零，能够经过边界条件确定，格林函数最终形式与边界条件类型有很强依赖关系。假如边界条件是各种单点型，则要求，格林函数可表示为：而由格林函数表示解为那么对非齐次微分方程，如例：算子在给定两点边界条件下格林函数：为了方便，把端点。由得在三维情况下，研究算子假设式和傅立叶变换存在§4格林函数以下分两种情况考虑：1.情况其中格林函数（4）例：静电场泊松方程2.情况（5）代回（5）式得例：求解薛定谔方程在远区，1、拉普拉斯方程在笛卡儿坐标系下格林函数(1)在区域，有注意到上边界条件上式化为(2)在区域，有由三角函数正交性，得把G代入原微分方程可得最终可得格林函数为2、拉普拉斯方程在柱面坐标系下格林函数(1)在区域(3)在处G性质决定系数。由G连续性代入原方程（1），并化简得因为所得格林函数解对全部a,l值都成立，所以我们能够把所得结果推广而求得另外一些问题格林函数。推广2:若再使a变为无穷大，就得自由空间中一个单位源在柱面坐标下格林函数。此时格林函数径向关系傅立叶级数表示式转化为一个傅立叶积分表示式，成为对于矢量方程，我们能够采取两种处理方法：一是标量分解；二是直接引入矢量格林函数（并矢格林函数）来求解，这种方法在电磁场问题中经惯用到。电场和磁场矢量能够由矢势A表示为得：2、并矢（2）转置：通常一个并矢含有九个分量。所以，有时也写成三个分量形式，而每一分量为一矢量，即3、矢量格林函数4、并矢格林函数