新版非线性方程的数值解法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

Tel：[phone]E-mail：[e-mail]讲课:68学分：4第二章非线性方程数值解法记笔记第二章非线性方程数值解法第二章非线性方程数值解法第二章非线性方程数值解法第二章非线性方程数值解法记笔记记笔记远在公元前1700年古巴比伦人就已经有关于一、二次方程解法。《九章算术》(公元前50~100年)其中“方程术”有联立一次方程组一般解法。1535年意大利数学家坦特格里亚(TorTaglia)发现了三次方程解法，卡当(H·Cardano)从他那里得到了这种解法，于1545年在其名著《大法》中公布了三次方程公式解，称为卡当算法。后来卡当学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程解法。此成果更激发了数学家们情绪，但在以后二个世纪中，求索工作始终没有成效，导致人们对高次代数方程解存在性产生了怀疑。1799年，高斯证实了代数方程必有一个实根或复根定理，称此为代数基本定理，并由此能够立刻推理n次代数方程必有n个实根或复根。但在以后几十年中依然没有找出高次代数方程公式解。一直到18世纪，法国数学家拉格朗日用根置换方法统一了二、三、四方程解法。但求解五次方程时未能如愿,开始意识到有潜藏其中奥妙,用当代术语表示就是置换群理论问题。在继续探索5次以上方程解艰难历程中，第一个重大突破是挪威数学家阿贝尔(N·Abel1802-1829)1824年阿贝尔发表了“五次方程代数解法不可能存在”论文，但并未受到重视，连数学大师高斯也未了解这项结果主要意义。1828年17岁法国数学家伽罗华(E·Galois1811-1832)写出了划时代论文“关于五次方程代数解法问题”，指出即使在公式中允许用n次方根，并用类似算法求五次或更高次代数方程根是不可能文章呈交法兰西科学院后，因辈份太低遭到冷遇，且文稿丢失。1830年伽罗华再进科学院递稿，得到泊松院士判词“完全不能了解”。以后伽罗华命运不佳，投考名校巴黎工科大学落榜，屈就高等师院，并卷入政事两次入狱，被开除学籍，又决斗受伤，死于1832年。决斗前，他把关于五次代数求解研究结果写成长信，留了下来。十四年后，法国数学家刘维尔(J·Liouville)整理并发表了伽罗华遗作，人们才意识到这项近代数学发展史上主要结果宝贵。38年后，即1870年，法国数学家若当(C·Jordan)在专著《论置换与代数方程》中阐发了伽罗华思想，一门当代数学分支—群论诞生了。在前几个世纪中，曾开发出一些求解代数方程有效算法，它们组成了数值分析中古典算法。至于超越方程则不存在普通求根方式。本章介绍方程迭代解法，它既能够用来求解代数方程，也能够用来解超越方程，而且仅限于求方程实根。利用迭代法求解方程根应处理以下两个问题：确定根初值;将深入准确化到所需要精度。2.2二分法2.1.1确定有根区间方法由高等数学知识知,设f(x)为区间[a,b]上单值连续,假如f(a)·f(b)<0,则[a,b]中最少有一个实根。假如f(x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。(1)画图法(1)画图法对于一些看不清根函数，能够扩大一下曲线y例1方程f(x)=x3-x-1=0确定其有根区间解：用试凑方法，不难发觉f(0)<0f(2)>0在区间（0，2）内最少有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根搜索,列表以下用逐步搜索法进行实根隔离关键是选取步长h要选择适当h，使之既能把根隔离开来，工作量又不太大。为获取指定精度要求初值,可在以上隔离根基础上采取对分法继续缩小该含根子区间二分法能够看作是搜索法一个改进。①取有根区间[a,b]之中点,将它分为两半,分点,这么就可缩小有根区间②对压缩了有根区间施行一样手法,即取中点,将区间再分为两半,然后再确定有根区间,其长度是二分之一③如此重复下去,若不出现,即可得出一系列有根区间序列：上述每个区间都是前一个区间二分之一,所以长度每次二分后,取有根区间中点作为根近似值，得到一个近似根序列该序列以根x*为极限只要二分足够屡次(即k足够大),便有这里ε为给定精度,因为,则例２求方程f(x)=x3-x-1=0在区间[1.0,1.5]内一个实根,使误差不超出0.5×10-2。P19例３证实方程在区间[2,3]内有一个根,使用二分法求误差不超出0.5×10-3根要二分多少次？证实令误差限为只要取k满足2.3迭代法2.3迭代法假如由迭代格式产生序列收敛,即例4用迭代法求方程在x=1.5附近一个根解将方程改写成以下两种等价形式2.3.2迭代法几何意义2.3.3迭代法收敛条件对方程f(x)=0能够结构不一样迭代公式,但迭代公式并非总是收敛。那么,当迭代函数满足什么条件时，对应迭代公式才收敛呢？即使迭代收敛时，我们也不可能迭代很屡次，而是迭代有限次后就停顿，这就需要预计迭代值误差，方便适时终止迭代定理2.1设函数