数值分析常微分方程的数值解法.docx

《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导

14常微分方程的数值解法

一、重点内容
欧拉公式：

局部截断误差是O(h2)。
2.改进欧拉公式：
预报－校正公式：

即
或表成平均的形式：

改进欧拉法的局部截断误差是O(h3)
3.龙格－库塔法
二阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h3)
三阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h4)
四阶龙格库塔法公式：
其中1=f(xk,yk)；2=f(xn+h，yk+h1)；3=f(xk+h，yn+h2)；4=f(xk+h，yk+h3)
四阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h5)。

二、实例
例1用欧拉法解初值问题，取步长h=0.2。计算过程保留4位小数。
解h=0.2,f(x)=－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式

当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有
y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8000
当k＝1，x2=0.4时，已知x1=0.2,y1=0.8，有
y(0.4)y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144
当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.6144，有
y(0.6)y3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.4613)＝0.8000
例2用欧拉预报－校正公式求解初值问题，取步长h=0.2,计算y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。
解步长h=0.2,此时f(x,y)=－y－y2sinx
欧拉预报－校正公式为：

有迭代格式：

当k=0，x0=1,y0=1时，x1=1.2，有

当k=1，x1=1.2,y1=0.71549时，x2=1.4，有

=0.52608
例3写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。计算过程保留4位小数。
解此处f(x,y)=8－3y,四阶龙格－库塔法公式为

其中1=f(xk,yk)；2=f(xn+h，yk+h1)；3=f(xk+h，yn+h2)；4=f(xk+h，yk+h3)
本例计算公式为：

其中1=8－3yk；2=5.6－2.1yk；3=6.32－2.37yk;4=4.208＋1.578yk

当x0=0,y0==2,

例4设初值问题，证明用梯形公式求解该问题的近似解为

证明解初值问题的梯形公式为
(k=0,1,2,…,n－1)

整理成显式
(k=0,1,2,…,n－1)
用k=n,n－1,n－2,…,1,0反复代入上式，得到

例5选择填空题：
1.取步长h=0.1,用欧拉法求解初值问题的计算公式是
答案：
解答：欧拉法的公式

此处，迭代公式为

2.改进欧拉法的平均形式公式是()
(A)(B)
(C)(D)
答案：(D)
解答：见改进欧拉法平均形式公式。
三、练习题
1.求解初值问题欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是();四阶龙格－库塔法的局部截断误差是()
(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)
2.改进欧拉预报－校正公式是

改进欧拉法平均形式公式为yp=,yc=，yk+1=
试说明它们是同一个公式。
3.设四阶龙格－库塔法公式为

其中1=f(xk,yk)；2=f(xn+h，yk+h1)；3=f(xk+h，yn+h2)；4=f(xk+h，yk+h3)
取步长h=0.3，用四阶龙格－库塔法求解初值问题的计算公式是。
4.取步长h=0.1,用欧拉法求解初值问题
5.试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题的计算公式，并取步长h=0.1，求y(0.2)的近似值。要求迭代误差不超过10－5。
6.对于初值问题试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y(0.2),y(0.4)的近似值。
7.用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题在x=0.2,0.4,0.6处的近似值。
8.证明求解初值问题的梯形公式是
yk+1=yk+,h=xk+1－xk(k=0,1,2,…,n－1)，
四、练习题答案
(A),(B),(D)
;
yk＋;
只需将yc,yp的表达式代入到yk+1中，就得到预报－校正公式。
3.
提示：其中1=1－yk；2=0.85(1－yk)；3=0.8725(1－yk)；4=0.73825(1－yk)

4.y1=1，y2=1.005000，y3=1.010025，y4=1.025175，y5=1.045679，
y6=1.07821，y7=1.103976，y8=1.142615，y