（整理版）高三数学导数与积分（理）人教实验（A）.doc

高三数学导数与积分〔理〕人教实验版〔A〕【本讲教育信息】一.教学内容：导数与积分二.重点、难点：1.导数公式：2.运算公式3.切线，过P〔〕为切点的的切线，4.单调区间不等式，解为的增区间，解为的减区间。5.极值〔1〕时，，时，∴为极大值〔2〕时，时，∴为的极小值。【典型例题】[例1]求以下函数的导数。〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕。分析：直接应用导数公式和导数的运算法那么解析：〔1〕〔2〕当时，；当时，，∴〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕[例2]如果函数的图象在处的切线过点〔0，〕并且与圆C：相离，那么点〔〕与圆C的位置关系。解：∴切过〔0，〕∴∴与圆相离，∴∴∴点〔〕在圆内[例3]函数在上可导，且，那么时有〔〕A.B.C.D.解：令∴∴∴∴任取∴即应选C[例4]分别为定义在R上的奇函数、偶函数。时，，那么不等式的解为。解：令∴∴奇，偶奇函数∵∴∴解为[例5]函数在处取得极值2。〔1〕求的解析式；〔2〕满足什么条件时，区间〔〕为函数增区间；〔3〕假设P〔〕为图象上任一点，与切于点P求的倾斜角的正切值的取值范围。解：∴∴列表∴〔－1，1〕↑〔1，+∞〕↓令∴[例6]〔1〕在x=1，x=3处取得极值，求；〔2〕在，且，求证：〔3〕在〔2〕的条件下，比拟与大小关系。解：〔1〕∴〔2〕∴〔3〕*∵∴∴*式∴[例7]抛物线和。如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。〔1〕取什么值时，和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；〔2〕假设和有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。分析：分别利用曲线方程求切线的方程再比拟，从而求得满足条件；对于〔2〕两条公切线段互相平分，也就是两公切线段的中点坐标相同。解析：〔1〕函数的导数，曲线在点的切线方程是即①函数的导数曲线在点的切线方程是即②如果直线是过P和Q的公切线，那么①式和②式都是的方程所以消去得方程假设判别式，即时解得，此时点P与Q重合即当时，和有且仅有一条公切线由①得公切线方程为〔2〕由〔1〕可知，当时和有两条公切线设一条公切线上切点为，其中P在上，Q在上，那么有线段PQ的中点为同理，另一条公切线段的中点也是所以公切线段PQ和互相平分[例8]抛物线过点，且在点处与直线相切，求的值。解析：∵∴∵抛物线在点处与直线相切∴，且即又抛物线过点〔1，1〕∴〔3〕将〔1〕〔2〕〔3〕联立解得[例9]设函数的图象与轴的交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为，假设函数在处取得极值为0，试确定函数的解析式。解析：∵的图象与y轴交点为P∴点P的坐标为∵曲线在P点处的切线方程为，故P点坐标适合此方程，将代入后得又切线的斜率为而，∴又函数在处取得极值0∴且即由〔1〕〔2〕解得∴[例10]曲线。〔1〕求曲线在点P〔1，1〕处的切线方程；〔2〕求曲线过点Q〔1，0〕的切线方程；〔3〕求满足斜率为的曲线的切线方程。解析：〔1〕∵，又P〔1，1〕是曲线上的点∴P为切点，所求切线的斜率为∴曲线在P点处的切线方程为，即〔2〕显然Q〔1，0〕不在曲线上，那么可设过该点的切线的切点为，那么该切线斜率为那么切线方程为〔*〕将Q〔1，0〕代入方程〔*〕得得。故所求切线方程为〔3〕设切点坐标为，那么切线的斜率为解得∴或，代入点斜式方程得或即切线方程为或[例11]，函数，设，记曲线在点处的切线为。〔1〕求的方程；〔2〕设与x轴交点为，证明：①；②假设，那么。解析：〔1〕求的导数：，由此得切线的方程：〔2〕依题意，切线方程中令①∴当且仅当时等号成立②假设，那么，，且由①，所以[例12]设函数，其中，求的单调区间。解析：由得函数的定义域为，且〔1〕当时，由知，函数在上单调递减〔2〕当时，由，解得随x的变化情况如下表：x－0+↓极小值