（整理版）高三数学导数与积分（理）人教实验（A）.doc

高三数学导数与积分〔理〕人教实验版〔A〕【本讲教育信息】一.教学内容：导数与积分二.重点、难点：1.导数公式：2.运算公式3.切线过P〔〕为切点的的切线4.单调区间不等式解为的增区间解为的减区间。5.极值〔1〕时时∴为极大值〔2〕时时∴为的极小值。【典型例题】[例1]求以下函数的导数。〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕。分析：直接应用导数公式和导数的运算法那么解析：〔1〕〔2〕当时；当时∴〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕[例2]如果函数的图象在处的切线过点〔0〕并且与圆C：相离那么点〔〕与圆C的位置关系。解：∴切过〔0〕∴∴与圆相离∴∴∴点〔〕在圆内[例3]函数在上可导且那么时有〔〕A.B.C.D.解：令∴∴∴∴任取∴即应选C[例4]分别为定义在R上的奇函数、偶函数。时那么不等式的解为。解：令∴∴奇偶奇函数∵∴∴解为[例5]函数在处取得极值2。〔1〕求的解析式；〔2〕满足什么条件时区间〔〕为函数增区间；〔3〕假设P〔〕为图象上任一点与切于点P求的倾斜角的正切值的取值范围。解：∴∴列表∴〔－11〕↑〔1+∞〕↓令∴[例6]〔1〕在x=1x=3处取得极值求；〔2〕在且求证：〔3〕在〔2〕的条件下比拟与大小关系。解：〔1〕∴〔2〕∴〔3〕*∵∴∴*式∴[例7]抛物线和。如果直线同时是和的切线称是和的公切线公切线上两个切点之间的线段称为公切线段。〔1〕取什么值时和有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；〔2〕假设和有两条公切线证明相应的两条公切线段互相平分。分析：分别利用曲线方程求切线的方程再比拟从而求得满足条件；对于〔2〕两条公切线段互相平分也就是两公切线段的中点坐标相同。解析：〔1〕函数的导数曲线在点的切线方程是即①函数的导数曲线在点的切线方程是即②如果直线是过P和Q的公切线那么①式和②式都是的方程所以消去得方程假设判别式即时解得此时点P与Q重合即当时和有且仅有一条公切线由①得公切线方程为〔2〕由〔1〕可知当时和有两条公切线设一条公切线上切点为其中P在上Q在上那么有线段PQ的中点为同理另一条公切线段的中点也是所以公切线段PQ和互相平分[例8]抛物线过点且在点处与直线相切求的值。解析：∵∴∵抛物线在点处与直线相切∴且即又抛物线过点〔11〕∴〔3〕将〔1〕〔2〕〔3〕联立解得[例9]设函数的图象与轴的交点为P点且曲线在P点处的切线方程为假设函数在处取得极值为0试确定函数的解析式。解析：∵的图象与y轴交点为P∴点P的坐标为∵曲线在P点处的切线方程为故P点坐标适合此方程将代入后得又切线的斜率为而∴又函数在处取得极值0∴且即由〔1〕〔2〕解得∴[例10]曲线。〔1〕求曲线在点P〔11〕处的切线方程；〔2〕求曲线过点Q〔10〕的切线方程；〔3〕求满足斜率为的曲线的切线方程。解析：〔1〕∵又P〔11〕是曲线上的点∴P为切点所求切线的斜率为∴曲线在P点处的切线方程为即〔2〕显然Q〔10〕不在曲线上那么可设过该点的切线的切点为那么该切线斜率为那么切线方程为〔*〕将Q〔10〕代入方程〔*〕得得。故所求切线方程为〔3〕设切点坐标为那么切线的斜率为解得∴或代入点斜式方程得或即切线方程为或[例11]函数设记曲线在点处的切线为。〔1〕求的方程；〔2〕设与x轴交点为证明：①；②假设那么。解析：〔1〕求的导数：由此得切线的方程：〔2〕依题意切线方程中令①∴当且仅当时等号成立②假设那么且由①所以[例12]设函数其中求的单调区间。解析：由得函数的定义域为且〔1〕当时由知函数在上单调递减〔2〕当时由解得随x的变化情况如下表：x－0+↓极小值↑从上表可知当时0函数在上单调递减当时函数在上单调递增综上所述：当时函数在上单调递减当时函数在上单调递减在上单调递增[例13]函数在R上是减函数求的取值范围。分析：因为在R上为减函数即在R上恒成立再解不等式即可得解。解析：求函数的导数：〔1〕当时是减函数且所以当时由知是减函数；〔2〕当时由函数在R上的单调性可知当时是减函数；〔3〕当时在R上存在一个区间其上有所以当时函数不是减函数综上所求的取值范围是[例14]设为实数函数在和上都是增函数求的取值范围。解析：其判别式〔1〕假设即当或时在上为增函数∴〔2〕假设恒有在上为增函数∴即〔3〕假设即令解得当或时为增函数当时为减函数依题意得由得解得由