（整理版）高三数学理导数与积分（二）人教实验（A）.doc

高三数学理导数与积分〔二〕人教实验版〔A〕【本讲教育信息】一.教学内容：导数与积分〔二〕二.重点、难点1.导数应用题2.函数〔〕定义域且奇偶性奇函数值域R单调区间〔－∞，0〕〔0，+∞〕↑图象3.〔〕定义域R，值域为R，有两根〔－∞，〕↑〔〕↓〔，+∞〕↑〔－∞，〕↓〔〕↑〔，+∞〕↓R上↑无极值R上↓无极值【典型例题】[例1]研究函数的性质。解：∴〔－∞，－1〕↓〔－1，1〕↑〔1，+∞〕↑定义域R，值域奇函数[例2]函数在x=0处取得极值，曲线过原点和点P〔－1，2〕，假设曲线在点P处的切线与直线的夹角为45°，且该切线的倾斜角为钝角。〔1〕求的表达式；〔2〕求的单调区间。解：〔1〕∵曲线过原点∴∴，又是的极值点∴∴〔2分〕又∵过点P〔－1，2〕的切线斜率为，又由题意解得：〔不合题意，舍去〕由即解得∴〔2〕，令得或所以在区间〔－∞，－2〕和〔0，+∞〕在内为增函数令得，所以在区间〔－2，0〕内为减函数综上知的单调区间为〔－∞，－2〕，〔0，+∞〕，〔－2，0〕[例3]函数，当时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值。〔1〕求的值及函数的极小值；〔2〕假设对任意，不等式恒成立，试确定实数的最小值。〔1〕解：，∵及x=3时取得极值∴－1，3是方程的根，即为的两根由一元二次方程根与系数的关系，有∴∴∵时极大值是7，∴，极小值∴极小值为－25〔2〕解：由〔1〕知在〔－1，0〕上是减函数且在[－1，0]上最大值，在[－1，0]上最小值对任意〔－1，0〕恒有成立∴，即的最小值为5[例4]，且〔1〕设，求的解析式；〔2〕设，试问：是否存在实数，使在〔－∞，－1〕内为减函数，且在〔－1，0〕内是增函数。解：〔1〕由题意得∵∴，∴，∴〔2〕假设满足条件的存在，那么∵函数在〔－∞，－1〕上是减函数，∴当时，即对于〔－∞，－1〕恒成立∴∵，∴，∴，解得又函数在〔－1，0〕上是增函数，∴当－1<x<0时，即对于〔－1，0〕恒成立，∴∵，∴∴，解得故当时，在〔－∞，－1〕上是减函数，在〔－1，0〕上是增函数，即满足条件的存在。[例5]某隧道长a米，最高限速为米/秒。一匀速行进的车队有10辆车，每车长米，相邻两车之间的距离m米与车速v的平方成正比，比例系数为k，从第一辆车车头进隧道至10辆车车尾离开隧道所用的时间是t秒。〔1〕求出的解析式并求出定义域；〔2〕求出的最小值，并求出取最小值时的的值。分析：本例不是很难，关键是明确车队所走的总路程应是隧道长加上10个车身和9个间距。解析：〔1〕∵相邻两车之间的距离m米与车速v的平方成正比，比例系数为k，∴整个车队走完隧道的总路程为：，∴所用的时间为：故的解析式为，其定义域为〔2〕解法一：∵〔当且仅当，即时取等号〕，∴当时，当时，∵，∴∴，∴当时，解法二：∵，∴令，∵，∴〔1〕当时，可列下表：－0+t↓极小值↑∴当时，〔2〕当时，函数在上为减函数，即当[例6]设〔1〕求函数的单调递增、递减区间；〔2〕当时，恒成立，求实数m的取值范围。解析：〔1〕令得或，那么的解为∴函数的单调增区间为，，单调减区间为在上的最大值小于m，由得或1又，，∴[例7]设和分别是函数的极小值点和极大值点，，求的值及函数的极值。解析：令，解得或当，即时在1两侧左负、右正，在两侧左正、右负，所以是极小值点，是极大值点由题意得，无解当，即时，故可知不合题意当，即时在两侧左正、右负，而在两侧左负、右正∴，由，解得或〔舍去〕综上可知，此时；[例8]为实数〔1〕求导数；〔2〕假设，求在上的最大值和最小值；〔3〕假设在和上都是递增的，求的取值范围。解析：〔1〕由原式得∴〔2〕由得此时有，由得或又，，，所以在上的最大值为，最小值为〔3〕解法一：的图象为开口向上且过点的抛物线，由条件得，即∴所以的取值范围为解法二：令，即由求根公式得所以在和上非负由题意可知：当或时，从而，即，解不等式组得∴的取值范围是[例9]设函数。假设对所有的，都有成立，求实数的取值范围。解析：解法一：令对函数求导数：令，解得〔1〕当，对所有，那么