（整理版）高三数学理导数与积分（二）人教实验（A）.doc

高三数学理导数与积分〔二〕人教实验版〔A〕【本讲教育信息】一.教学内容：导数与积分〔二〕二.重点、难点1.导数应用题2.函数〔〕定义域且奇偶性奇函数值域R单调区间〔－∞0〕〔0+∞〕↑图象3.〔〕定义域R值域为R有两根〔－∞〕↑〔〕↓〔+∞〕↑〔－∞〕↓〔〕↑〔+∞〕↓R上↑无极值R上↓无极值【典型例题】[例1]研究函数的性质。解：∴〔－∞－1〕↓〔－11〕↑〔1+∞〕↑定义域R值域奇函数[例2]函数在x=0处取得极值曲线过原点和点P〔－12〕假设曲线在点P处的切线与直线的夹角为45°且该切线的倾斜角为钝角。〔1〕求的表达式；〔2〕求的单调区间。解：〔1〕∵曲线过原点∴∴又是的极值点∴∴〔2分〕又∵过点P〔－12〕的切线斜率为又由题意解得：〔不合题意舍去〕由即解得∴〔2〕令得或所以在区间〔－∞－2〕和〔0+∞〕在内为增函数令得所以在区间〔－20〕内为减函数综上知的单调区间为〔－∞－2〕〔0+∞〕〔－20〕[例3]函数当时取得极大值7；当x=3时取得极小值。〔1〕求的值及函数的极小值；〔2〕假设对任意不等式恒成立试确定实数的最小值。〔1〕解：∵及x=3时取得极值∴－13是方程的根即为的两根由一元二次方程根与系数的关系有∴∴∵时极大值是7∴极小值∴极小值为－25〔2〕解：由〔1〕知在〔－10〕上是减函数且在[－10]上最大值在[－10]上最小值对任意〔－10〕恒有成立∴即的最小值为5[例4]且〔1〕设求的解析式；〔2〕设试问：是否存在实数使在〔－∞－1〕内为减函数且在〔－10〕内是增函数。解：〔1〕由题意得∵∴∴∴〔2〕假设满足条件的存在那么∵函数在〔－∞－1〕上是减函数∴当时即对于〔－∞－1〕恒成立∴∵∴∴解得又函数在〔－10〕上是增函数∴当－1<x<0时即对于〔－10〕恒成立∴∵∴∴解得故当时在〔－∞－1〕上是减函数在〔－10〕上是增函数即满足条件的存在。[例5]某隧道长a米最高限速为米/秒。一匀速行进的车队有10辆车每车长米相邻两车之间的距离m米与车速v的平方成正比比例系数为k从第一辆车车头进隧道至10辆车车尾离开隧道所用的时间是t秒。〔1〕求出的解析式并求出定义域；〔2〕求出的最小值并求出取最小值时的的值。分析：本例不是很难关键是明确车队所走的总路程应是隧道长加上10个车身和9个间距。解析：〔1〕∵相邻两车之间的距离m米与车速v的平方成正比比例系数为k∴整个车队走完隧道的总路程为：∴所用的时间为：故的解析式为其定义域为〔2〕解法一：∵〔当且仅当即时取等号〕∴当时当时∵∴∴∴当时解法二：∵∴令∵∴〔1〕当时可列下表：－0+t↓极小值↑∴当时〔2〕当时函数在上为减函数即当[例6]设〔1〕求函数的单调递增、递减区间；〔2〕当时恒成立求实数m的取值范围。解析：〔1〕令得或那么的解为∴函数的单调增区间为单调减区间为在上的最大值小于m由得或1又∴[例7]设和分别是函数的极小值点和极大值点求的值及函数的极值。解析：令解得或当即时在1两侧左负、右正在两侧左正、右负所以是极小值点是极大值点由题意得无解当即时故可知不合题意当即时在两侧左正、右负而在两侧左负、右正∴由解得或〔舍去〕综上可知此时；[例8]为实数〔1〕求导数；〔2〕假设求在上的最大值和最小值；〔3〕假设在和上都是递增的求的取值范围。解析：〔1〕由原式得∴〔2〕由得此时有由得或又所以在上的最大值为最小值为〔3〕解法一：的图象为开口向上且过点的抛物线由条件得即∴所以的取值范围为解法二：令即由求根公式得所以在和上非负由题意可知：当或时从而即解不等式组得∴的取值范围是[例9]设函数。假设对所有的都有成立求实数的取值范围。解析：解法一：令对函数求导数：令解得〔1〕当对所有那么所以在上是增函数又所以对有即当时对于所有都有〔2〕当时对于所以在上是减函数又所以对有即所以当时不是对所有的都有成立综上的取值范围是解法二：令于是不等式成立即为成立对求导数得令解得当时为增函数；当时为减函数要对所有都有成立的充要条件为由此得即的取值范围是[例10]函数〔1〕假设函数在区间上递增在区间上递减求的值；〔2〕当时设函数图象上任意一点处的切线的倾斜角为假设给定常数求的取值范围；〔3〕在〔1〕的条件下是否存在实数m使得函数的图象与函数的图象恰有三个交点假设存在请求出实数的值；假设不存在试说明理由。解析：〔1〕依题意由得即〔2〕当时由得①当即时此时②当即时此时又∵∴当时当时〔3〕函数与的图象恰有3个交点等价于方程恰有3个不等实根∴显然是其中一个根〔二重根〕方程有两个非零不等实根那