（整理版）x422矩阵的逆矩阵特征值与特征向量练习苏教选修.doc

x4-2-2矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量练习苏教版选修4-2一、填空题1．A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(13,a6))可逆，那么实数a的取值范围是________．解析：矩阵A可逆当且仅当det(A)≠0，即6－3a≠0，∴a≠2，∴a的取值范围为(－∞，2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，2)∪(2，＋∞)2．设矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(\r(3),2),\f(\r(3),2)－\f(1,2)))，那么矩阵M的特征向量可以是________．解析：矩阵M的特征多项式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)－\f(\r(3),2),－\f(\r(3),2)λ＋\f(1,2)))＝λ2－1.由于f(λ)＝0得矩阵M的特征值为λ1＝1，λ2＝－1.经计算可得，矩阵M属于特征值λ＝1的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3),1))，而属于特征值λ＝－1的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－\r(3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－\r(3)))3．设可逆矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a3,45))的逆矩阵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(bc,a－1))，那么a＝________，b＝________，c＝节________．解析：由AA－1＝E得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab＋3aac－3,4b＋5a4c－5))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac＝3，,4b＋5a＝0，,4c－5＝1，,ab＋3a＝1))解方程组得a＝2，b＝－eq\f(5,2)，c＝eq\f(3,2).答案：2－eq\f(5,2)eq\f(3,2)4．二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x－\f(\r(2),2)y＝－1，,\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y＝1，))从线性变换的角度求解时应把向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,1))绕原点作顺时针旋转________的旋转变换．解析：因为方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)x－\f(\r(2),2)y＝－1，,\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y＝1，))的矩阵形式是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)\f(\r(2),2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,1))，它是把向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))绕原点作逆时针旋转eq\f(π,4)变换得到eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,1))，所以解方程组就是把向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,1))绕原点作顺时针旋转eq\f(π,4)的旋转变换．答案：eq\f(π,4)5．A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2),\f(\r(3),2)\f(1,2)))，那么A－1＝________．解析：A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2),\f(\r(3),2)\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)\f(－1－\r(3),2),\f(\r(3),2)\f(1,2)))