（整理版）x422矩阵的逆矩阵特征值与特征向量练习苏教选修.doc

x4-2-2矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量练习苏教版选修4-2一、填空题1．A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(13a6))可逆那么实数a的取值范围是________．解析：矩阵A可逆当且仅当det(A)≠0即6－3a≠0∴a≠2∴a的取值范围为(－∞2)∪(2＋∞)．答案：(－∞2)∪(2＋∞)2．设矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(12)\f(\r(3)2)\f(\r(3)2)－\f(12)))那么矩阵M的特征向量可以是________．解析：矩阵M的特征多项式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－\f(12)－\f(\r(3)2)－\f(\r(3)2)λ＋\f(12)))＝λ2－1.由于f(λ)＝0得矩阵M的特征值为λ1＝1λ2＝－1.经计算可得矩阵M属于特征值λ＝1的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(3)1))而属于特征值λ＝－1的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\r(3))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\r(3)))3．设可逆矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a345))的逆矩阵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(bca－1))那么a＝________b＝________c＝节________．解析：由AA－1＝E得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab＋3aac－34b＋5a4c－5))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1001))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac＝34b＋5a＝04c－5＝1ab＋3a＝1))解方程组得a＝2b＝－eq\f(52)c＝eq\f(32).答案：2－eq\f(52)eq\f(32)4．二元一次方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2)x－\f(\r(2)2)y＝－1\f(\r(2)2)x＋\f(\r(2)2)y＝1))从线性变换的角度求解时应把向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11))绕原点作顺时针旋转________的旋转变换．解析：因为方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2)x－\f(\r(2)2)y＝－1\f(\r(2)2)x＋\f(\r(2)2)y＝1))的矩阵形式是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2)－\f(\r(2)2)\f(\r(2)2)\f(\r(2)2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xy))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11))它是把向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(xy))绕原点作逆时针旋转eq\f(π4)变换得到eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11))所以解方程组就是把向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11))绕原点作顺时针旋转eq\f(π4)的旋转变换．答案：eq\f(π4)5．A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－101))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(12)－\f(\r(3)2)\f(\r(3)2)\f(12)))那么A－1＝________．解析：A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－101))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(12)－\f(\r(3)2)\f(\r(3)2)\f(12)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3)2)\f(－1－\r(3)2)\f(\r(3)2)\f(12)))∵|A|＝eq\f(1－\r(3)2)×eq\f(12)－eq\f(－1－\r(3)2)×eq\f(\r(3)2)＝1≠0.∴A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f