选修42矩阵与变换矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量.docx

eq\o(\s\up7(),\s\do5(第二节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量))

1．矩阵的逆矩阵
(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．
(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．
(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A－1.
(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.
(5)二阶矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))可逆，当且仅当detA＝ad－bc≠0时，A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,detA)\f(－b,detA),\f(－c,detA)\f(a,detA))).
2．二阶行列式与方程组的解
对于关于x，y的二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝m，,cx＋dy＝n，))我们把eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为detA＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.
若将方程组中行列式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))记为D，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(mb,nd))记为Dx，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(am,cn))记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(Dx,D).,y＝\f(Dy,D).))
3．矩阵特征值、特征向量的相关概念
(1)定义：设矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，如果存在实数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A的一个特征值，ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量．
(2)一般地，设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kξ也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量．
(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．
(4)设矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，称f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))为矩阵A的特征多项式，方程eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))＝0为矩阵A的特征方程．
4．特征向量的应用
(1)设A是一个二阶矩阵，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝λnα(n∈N*)．
(2)性质1设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(其中t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Anα＝t1λeq\o\al(n,1)ξ1＋t2λeq\o\al(n,2)ξ2.

1．矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))的逆矩阵是________．
答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,－10))
2．若矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,5k))可逆，则k的值不可能是________．
答案：eq\f(15,2)
3．若矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21－a2,1a＋1))不可逆，则实数a的值为________．
解析：由题意|A|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(21－a2,1a＋1))
＝2×(a＋1)－1×(1－a2)＝a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1.
答案：－1
4．对任意实数x，矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x3＋m,2－m2))总存在特征向量，则m的取值范围是________．
解析：由条件得f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－x－3－m,m－2λ－2))
＝(λ－x)(λ－2)－(m－2)(－3－m)
＝λ2－(x＋2)λ＋2x＋(m＋3)(m－2)＝0有实数根，
所有Δ1＝(x＋2)2－4(2x＋m