代数插值--补充知识.ppt

代数插值某化学反应中,在有限个时刻t(min)，测得生成物质量浓度y(10-3g/cm3)的如下数据§1多项式插值问题在构造插值函数时，函数类的不同选取,P对应各种不同的插值方法，这里我们主要研究函数类是代数多项式,，即所谓的多项式插值问题。(4)其系数行列式为Vandermonde(范德蒙)行列式这样只要求解方程组§2Lagrange插值多项式一、线性插值（n=1）二、抛物线插值（n=2）于是得到另外，如果再引进记号这样，就得到二次拉格朗日插值多项式的三种表示形式三、n次Lagrange插值多项式由插值条件Ln(xn)=yn,得也就是…………………紧凑格式还有一种表示式开始例：某化学反应中,在有限个时刻t(min)，测得生成物质量浓度y(10-3g/cm3)的如下数据%lagrange.mfunctiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fork=1:mz=x(k);s=0.0;forj=1:np=1.0;fori=1:nifi~=jp=p*(z-x0(i))/(x0(j)-x0(i));endends=p*y0(j)+s;endy(k)=s;end计算结果：y(5)=9.2300,y(16.4)=6.5872例1已知2）.取x0,x1,x2作二次插值四、插值余项（误差估计）其中ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn).即对于误差估计式于是，得到如下Lagrange插值多项式及其误差估计§3差商及Newton插值多项式一般地，称2.差商的性质由证明：以k=1为例性质3：若f(x)为n次多项式，则f[x,x0]为关于x的n-1次多项式。3.差商的计算例2已知函数y=f(x)的如下离散数据(1,0)、(2,2)、(4,12)、(5,20)、(6,70)，试求其各阶差商.二、Newton插值多项式依次将下式带入上式得到：则可以将函数f(x)表示成：并称1.Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差相同例3已知2.Newton插值多项式具有递推式例3已知f(x)的五组数据(1.0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求N4(x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)，并计算N4(1.5)、N5(1.5).由Newton公式的递推式得到：本节要点for(j=0;j<=n-1;j++)for(i=n;i>=j+1-1;i--)y0[i]=(y0[i]-y0[i-1])/(x0[i]-x0[i-i]);for(k=0;k<=m;k++){z[k]=y0[0];for(j=1;j<=n;j++){t=1.0;for(i=0;i<=j-1;i++)t=t*(x[k]-x0[i]);z[k]=z[k]+t*y0[j];}关于离散数据：§4分段插值多项式n=10时，插值多项式L10(x)的计算结果见下图：从图中可见，在x=0附近L10(x)对f(x)有较好的近似，而点x距零点越远，近似效果越差，以至于完全失真。实际上，当n→∞时，在|x|<0.36….范围内,L10(x)收敛于f(x),而在这个区间外,L10(x)是不收敛的。这个现象被称为Runge（龙格）现象。4.2分段线性插值这时的插值函数为分段函数：则有：于是,当h→0时，分段线性插值S(x)收敛于f(x)。值的注意的是：分段线性插值虽然有很好的收敛性质，但却不是光滑的。也就是说，S(x)的导数不一定存在！4.3分段Hermite插值其中Hi(x),x∈[xi-1,xi]满足条件：关于Hi(x)的构造，我们可以通过基函数来进行：由于i-1(x)满足条件：将代入下式关于误差，若f(x)在[a,b]具有4阶连续导数，可推得关于整体误差，若f(x)∈C4[a,b],则可按如下方式考虑：上节中的分段低次插值有很好的收敛性，但其光滑性不够理想，为了提高光滑性，就得增加节点上的导数插值条件，这显然是困难的。本节问题§5三次样条插值所谓三次样条一词来源于一种绘图工具：绘图尺，柔软富有弹性，作图时可以用它作出不同弯曲程度的曲线。5.1样条(Spline）函数的定义2.三次样条函数的定义S(x)的具体形式为：常用的边界条件有以下几种：5.2样条函数的求解已知Si(x)满足条件上式给出了Si(x)的表达式，但是表达式中的mi-1和mi还是未知的，还需要求出mi-1、mi来才具体求出了三次样条函数。而：于是根据二阶导数连续性条件,即用除等式两侧得到令：式（2.3）给出了n+1个未知数m0,m1,…,mn的n-1个方程，若要求解出来，还需要补充两个方程，这时可以考虑所给定的边界条件。得到或者，表示为矩阵方程便得到三次样条函数：也就是：将求解此方程组，也可以求出三次样条函数。由第一个等式和第二个等式