第五章 代数插值.ppt

代数插值下表是2004年8月11日男子赛跑奥运会纪录其中p(x)称为插值函数，f(x)称为被插值函数。xi称为节点。若取插值函数p(x)为多项式，则称为代数插值。插值函数的存在唯一性：证明：设所要构造的插值多项式为：此方程组的系数行列式为图1－1插值多项式拉格朗日（Lagrange）、牛顿（Newton）、埃特金(Aitken)、埃尔密特（Hermite）分别给出了不同的解决方法。(一)拉格朗日插值求通过两点A(x0，y0)，B(x1，y1)的一条直线，x0其中显然有：l0(x0)=l1(x1)=1，l0(x1)=l1(x0)=0，插值函数L1(x)是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。2.抛物插值，即n=2的情况L2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。3.一般情况插值余项函数值表姐贤姨稳哩苗彼蠕俏苞陆扇命的院立渣丢镊厨胖媚砾戈饺怒补证裁罪矫陌第五章代数插值第五章代数插值综合上述,我们有:下表是2004年8月11日男子赛跑奥运会纪录舀摔路痰爸谱蔫够曙铭卑贮凛蹬豹魄衷搞糟窗捆愤梢竭让民沧拟淬软晨饿第五章代数插值第五章代数插值1.插值：
T(x)=2.72197+0.0576262x+0.000144715x2
-9.40×10-8x3+2.26292×10-11x4故翅深助姐拴谱轿戌心鲜徘卓虽垃殿酸内拢刚驮伙谐投姨烦就身俞思倒糯第五章代数插值第五章代数插值2、差商与牛顿插值定义：设函数f(x)在xi处的函数值f(xi)为xi点的零阶差商，记作f[xi]=f(xi);差商的性质3)如果f(x)的k阶差商f[x0,x1,…,xk-1,x]是x的m次多项式，则k+1阶差商f[x0,x1,…,xk-1,xk,x]是x的m-1次多项式，1Nn(x)=f[x0]+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]
+(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)f[x0,x1,…,xn]x第二写出牛顿插值多项式练习：1已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求f(x)的二次Newton插值多项式。Newton插值例题1：解:建立Newton插商表写出牛顿插值多项式：练习：2.现有一组实验数据如下表，
1．分别用线性插值与二次插值计算f(1.64)的近似值；
2．写出f(x)的三次插值多项式;
3．写出f(x)的三次牛顿(Newton)插值多项式3.差分与等距节点公式差分的重要性质：性质5：牛顿公式例.给出函数y=f(x)=shx在x[0.5,0.8]的部分函数值如下：牛顿后差公式4.埃特金插值公式引入记号：2逐步插值法的思想x
［例］已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(x)的Aitken插值多项式。
解：设x0=-1,x1=1,x2=2x取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10),试建立插值多项式L10(x),并作图形,观察L10(x)对f(x)的逼近效果。插值多项式与函数图形比较如下：为了避免Runge现象的发生,我们很自然地会想到把区间［-5,5］等分为10个小区间,在每一个小区间内应用低次插值。但由于每个小区间只有两个端点（插值节点）,按照我们已知的方法,得到的将是一个分段线性插值函数。分段低次插值失去了原函数的光滑性。6、埃尔米特插值定理：埃尔米特(Hermite)插值多项式是存在且唯一的。
证明从略。------(3)1.求解hk(x)(k=0,1,2,……，n)2.求解于是可得Hermilte插值多项为特别当n＝1时，插值条件为：缮捅栈烹汲期械炉夯弄讣晦隧健循语污茅骡器接撑示磨癌帖朗掷胆铆忠直第五章代数插值第五章代数插值例1.

作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有
可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，
我们可以使用分段两点三次Hermite插值7、样条函数插值定义：设对y=f(x)在区间[a,b]上给定一组节点f(x)三次样条插值多项式的构造方法其中，将上式两次积分得：求Mi，确定S(x)的表达式。对上式求导有：于是各项除以hi+hi+1，并记边界条件分别补充为方程组（×）式的第一个和最后一个方程组。解方程组对端点条件（2），有若取等距节点hi=h,i=1,…,n–1算法：（3）解n–1阶三对角方程组，得上机实习题应用实例k图1-4直升飞机旋转机翼外形截面图解：要用程控铣床加工工件必须计算出整个工件外形曲线足够密的点的坐标值。根据所给条件，头部圆弧B1B2可由圆的方程直接计算出点的坐标，其余部分必须根据给出的点的坐标。x0=Rcos=6.619
y0=Rsin=2.0186
于是，圆的方程为
(x-6.619)2+(y-2.0186)2=