李雅普诺夫稳定性分析.doc

第六章李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz稳定判据、Nquist判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。§6-1外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。(外部稳定性也称为BIBO（BoundedInputBoundedOutput）稳定性)说明：所谓有界是指如果一个函数，在时间区间中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数，使得对于所有的，恒有成立。所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统的传递函数矩阵为当且仅当极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO稳定）的。【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为，试分析系统的外部稳定性。解：系统为SISO系统，传递函数为由于传递函数的极点位于s左平面，故系统是外部稳定的。二、内部稳定性对于线性定常系统，如果外部输入，初始条件为任意，且由引起的零输入响应为满足则称系统是内部稳定的，或称为系统是渐近稳定的。说明：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。【例6.1.２】已知受控系统状态空间表达式为，试分析系统的内部稳定性。解：该系统为线性定常系统，其特征方程为：于是系统的特征值为，，故系统不是内部稳定（渐近稳定）的。三、内部稳定性与外部稳定性的关系１、若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（BIBO稳定）的。2、若系统是外部稳定（BIBO稳定）的，且又是可控可观测的，则系统是内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定是等价的。§6-2李雅普诺夫稳定性的基本概念一、自治系统没有外界输入作用的系统叫自治系统。自治系统可用如下的显含时间的状态方程来描述，，…………………………(6-1)其中为维状态向量。为线性或非线性、定常或时变的维向量函数。假定方程的解为，式中和分别为初始状态向量和初始时刻，那么初始条件必满足。如果系统为线性系统，则(6-1)方程中的为的线性向量函数，或按习惯表示为：，，…………………………(6-2)二、平衡状态设控制系统的齐次状态方程为：，，对于所有，如果存在某个状态，满足：则称为系统的一个平衡点或平衡状态。平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。若已知系统状态方程，令所求得的解，便是平衡状态。在大多数情况下，（状态空间原点）为系统的一个平衡状态。当然，系统也可以有非零平衡状态。如果系统的平衡状态在状态空间中表现为彼此分隔的孤立点，则称其为孤立平衡状态。对于孤立平衡状态，总是可以通过移动坐标系而将其转换为状态空间的原点，所以在下面的讨论中，假定原点即为平衡状态。所谓系统运动的稳定性，就是研究其平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动，能否只依靠系统内部的结构因素而返回到平衡状态，或者限制在平衡状态的附近。线性定常系统，其平衡状态满足，只要A非奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态；当A为奇异矩阵时，有无数解，也就是系统有无数个平衡状态。对于非线性系统，的解可能有多个，由系统状态方程决定。三、李雅普诺夫意义下稳定设系统初始状态位于以平衡状态为球心、半径为的闭球域内，即若能使系统方程的解在的过程中，都位于以为球心、任意规定的半径为的闭球域内，即则称该是稳定的，通常称为李雅普诺夫意义下稳定的平衡状态。以二维系统为例，上述定义的平面几何表示如图6-1所示。-初始状态-平衡状态图6-1二维空间李雅普诺夫意义下稳定性的几何解释示意图式中称为向量的范数，其几何意义是空间距离的尺度。如表示状态空间中至点之间的距离的尺度，其数学表达式为在上述稳定性的定义中，如果只依赖于而和初始时刻的选取无关，则称平衡状态是一致稳定的。对于定常系统，的稳定等价于一致稳定。但对于时变系统，的稳定并不意味着其为一致稳定。要注意到，按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，但只要不超过，则认为稳定，这同经典控制理论中线性定常系统稳定性的定义是有差异的。四、渐近稳定设是系统，