李雅普诺夫稳定性分析.ppt

4.1概述
4.2李亚普诺夫第二法的概述
4.3李亚普诺夫稳定性判据
4.4线性定常系统的李亚普诺夫稳定性分析
小结是指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性，即状态稳定。内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。研究系统稳定性的方法：以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。现代控制理论现代控制理论★李亚普诺夫第二法4.2李亚普诺夫第二法的概述现代控制理论现代控制理论李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
，那么随着系统的运动，其储存的能量将时间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。现代控制理论设为任一标量函数，其中X为系统的状态变量，
如果具有以下性质：

是连续的；

是正定的；

(3)当时，。

那么函数称为李亚普诺夫函数。现代控制理论现代控制理论由二次型函数的定义可写成现代控制理论V(X)是向量X的标量函数。对于P为实对称矩阵的二次型函数V(X)的定号性，可用关于矩阵定号性的赛尔维斯特定理来判定。这个定理称为赛尔维斯特定理．正定矩阵具有以下一些简单性质例4.10判别二次型4.1李亚普诺夫关于稳定性的定义现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论例4.6系统方程为

试确定系统平衡状态的稳定性。
解：原点为平衡状态，选取李氏函数现代控制理论现代控制理论4.4线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析且标量函数就是系统的一个李氏函数。1）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取。应用定理判稳步骤：现代控制理论现代控制理论现代控制理论[例]用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。状态空间描述为：注意：P为正定实对称矩阵。二、线性定常离散系统的稳定性分析推导：当取时：
[例]设离散时间系统的状态方程为

试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件。
解：根据稳定定理知
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