李雅普诺夫稳定性分析.pptx

会计学本章简介(2/2)目录(1/1)概述(1/5)概述(2/5)概述(3/5)概述(4/5)概述(5/5)概述(6/5)概述(7/5)概述(8/5)概述(9/5)概述(10/5)李雅普诺夫稳定性的定义(1/4)李雅普诺夫稳定性的定义(2/4)李雅普诺夫稳定性的定义(3/4)李雅普诺夫稳定性的定义(4/4)平衡态(1/4)平衡态(2/4)—定义1平衡态(3/4)平衡态(4/4)平衡态(5/4)平衡态(6/4)李雅普诺夫意义下的稳定性(1/1)李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(1/2)李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(2/2)李雅普诺夫意义下的稳定性--球域(1/1)李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(1/4)李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(2/4)李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(3/4)李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(4/4)李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(5/4)渐近稳定性(1/3)—渐近稳定性定义渐近稳定性(2/3)—渐近稳定性定义渐近稳定性(3/3)渐近稳定性(4/3)大范围渐近稳定性(1/1)五、不稳定性(1/2)—不稳定性定义不稳定性(2/2)平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系(1/1)李雅普诺夫稳定性的基本定理(1/2)李雅普诺夫稳定性的基本定理(2/2)李雅普诺夫第一法(1/7)李雅普诺夫第一法(2/7)李雅普诺夫第一法(3/7)李雅普诺夫第一法(4/7)李雅普诺夫第一法(5/7)李雅普诺夫第一法(6/7)李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1李雅普诺夫第一法(8/7)李雅普诺夫第二法(1/3)李雅普诺夫第二法(2/3)李雅普诺夫第二法(3/3)数学预备知识(1/1)实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义实函数的正定性(4/4)实函数的正定性(5/4)实函数的正定性(6/4)实函数的正定性(6/4)二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4)二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4)二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)--矩阵定号性定义矩阵正定性的判别方法(1/5)矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理矩阵正定性的判别方法(2/5)—矩阵定号性判定定理矩阵正定性的判别方法(3/5)—矩阵定号性判定定理矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(1/5)李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5)因此,有
mx’’=-mg(cos-fsin)
因此,能量的变化趋势(导数)为
V’=mx’x’’+mgx’cos
=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos
=mgx’fsin从直观物理意义的角度,也非常易于理解.
由于物体运动所受到的摩擦力作负功,由能量守恒定律可知,物体的能量将随物体运动减少,
即其导数(变化趋势)为负.再如右图所示的动力学系统,其平衡态在一定范围内为不稳定的平衡态.
对该平衡态的邻域,可定义其能量(动能+势能)函数如下:由牛顿第二定律可知,其运动满足如下方程:
ma=mgcos-fmgsin
因此,有
mx’’=mg(cos-fsin)
因此,能量的变化趋势(导数)为李雅普诺夫第二法的基本思想就是通过定义和分析一个在平衡态邻域的关于运动状态的广义能量函数来分析平衡态的稳定性.
通过考察该能量函数随时间变化是否衰减来判定平衡态是渐近稳定,还是不稳定.
基于上述关于函数的定号性的定义和上述物理意义解释,下面阐述李雅普诺夫第二法关于
平衡态稳定、
渐近稳定、
大范围渐近稳定和
不稳定
的几个定理.3.李雅普诺夫第二法的几个定理

下面分别介绍李雅普诺夫稳定性分析的如下3个定理:
渐近稳定性定理(定理5-4)
稳定性定理(定理5-5)
不稳定性定理(定理5-6)(1)渐近稳定性定理

定理5-4设系统的状态方程为
x’=f(x,t)
其中xe=0为其平衡态.
若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件:
1)若V’(x,t)为负定的,则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的;
2)更进一步，若随着||x||→,有V(x,t)→,那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的.□李雅普诺夫定理是判别系统稳定性的一个重要方法和结论。
它不仅适用于线性系统,也适用于非线性系统;既适用于定常系统,也适用于时变系统。
因此，李雅普诺夫第二法是判别系统稳定性的具有普遍性的方法。
李雅普诺夫稳定性理论对控制理论中其他分支理论的发展也起着重要的作用,是进行现代系统分析和设计的基础工具。

对上述李雅普诺夫稳定性定理的使用有如下说明:
1)此定理只为判别系统一致渐近稳定