弹塑性平面问题.pptx

弹性力学问题的基本方程组和边界条件共同构成弹力学问题严格而完整的提法。求解以上三类边值问题有相应的方法，即塑性力学问题的提法在V内第六章弹塑性平面问题6.1平面问题的基本方程6.2应力函数6.3梁的弹性平面弯曲6.4深梁的三角级数解法6.5用极坐标表示的基本方程6.6厚壁筒的弹塑性解6.7半无限平面体问题6.8圆孔孔边应力集中任何一个弹塑性体实际上都是空间(三维)物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系。因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题，即所有的力学量都是坐标6.1平面问题的基本方程由第二章己经知道，两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的。1.3本构关系平面应变问题将上面两种平面问题的本构方程式进行比较可以看出，只要将平面应力问题本构方程式中的1.4应变协调方程将平面问题的变形协调方程式(2)平面应变问题的应变协调方程由以上可见，如果讨论的问题为1.5边界条件6.2应力函数当边值问题属于第一类，即面力已知问题，则采用应力法求解时,平面问题的弹性解,要求积分平衡方程和应变协调方程,并满足边界条件.其基本方程归结为非齐次方程(6.2-1a)的特解可取为将(6.2-3)式与式(a)式相叠加，将展开为(3)考虑有体力,且体力是有势的,即平面应力问题:实际上，直接求解弹性力学问题往住是很困难的，因此有时不得不采用逆解法或半逆解怯等来求解。把问题归结为在给定的边界条件下，求解双调和方程的问题.现在我们转向讨论如何求应力函数(1)取一次多项式(2)取二次多项式(3)取三次多项式(4)取四次多项式对应的应力分量为(5)取五次多项式此时,式中的四个系数不论取何值,均满足双调和方程.特别的,如果在矩形板的边界上,应力分布如图6.3梁的弹性平面弯曲3.1悬臂梁的弹性平面弯曲对于图示悬臂梁，其边界条件为2)确定系数根据边界条件式(a)中的第3式，并注意到式(e)和(f)，则有3)应力分量计算4)变形计算上式两边分别为(1)固定端处(如在固定端((2)固定端处((6.3-4)式可得梁轴的铅垂位移为梁的挠度主要由于弯曲所引起。由此可见，在材料力学中得到的结果，对于细长梁是精确的。但是，必须指出，在高而短的梁中，以及在梁的高频振动和在波的传播问题中，切应力效应是非常重要的。由以上计算变形可见，在材料力学中，只是笼统地说梁端“固定”，没有规定具体的固定方式。在弹性理论中必须规定固定的方式，根据不同的固定方式，得出不同的位移公式。方法二:选择应力函数3.2简支梁的弹性平面弯曲1)选择应力函数3)应力分量计算上式括号中的第一项为主要应力，第二项反映修正应力。一般认为当(2)材料力学对该问题剪应力的解答与本精确解完全吻合。4)位移计算(1)由位移(2)由位移(3)将式(m)对因此,要求应力满足弹性力学方程,将应力表达式(a)写成更普遍的形式:将这个应力函数代入双调和方程,发现不满足,这说明它不能取做应力函数.这个方程最简单的解为考虑边界条件:(2)端面得:3.3悬臂梁受均匀分布载荷作用弯曲应力主要由弯矩产生的,剪应力主要是由剪力Q产生的,而挤压应力主要由载荷q产生的,现因q为常数,所以,可以假定,对于不同的的分布相同,也就是说,仅仅是y的函数,即函数,和必须满足(c)边界条件为:再由边界条件(g)的前面两式可得这个应力表达式和材料力学结果比较,可以发现剪应力与材料力学一样,正应力增加了一个修正项:6.4深梁的三角级数解法前面一节是用代数多项式为应力函数求解弹性梁平面问题，对于一端受集中力悬臂梁的弯曲，用三次多项式为应力函数；对于受连续均布载荷的单跨粱，用五次多项式。增高多项式的幂次，可以求解受载荷更复杂的问题。4.1应力函数的三角级数表达当不计体力时，由相应的应力分量为不难证明，如取应力函数4.2载荷函数(6.4-5)(1)选取应力函数(2)计算应力分量(3)写出边界条件与平衡方程(4)确定常数,求应力分布规律(5)求位移分量解：首先将载荷展开为富里叶级数，最普遍的情况下，由图6.7可知，所示载荷对称于将，则可得如果在该梁上的分布载荷6.5用极坐标表示的基本方程5.1平衡方程剪应力用类似的还可写出柱坐标系(5.2几何方程对于平面应力问题5.4应变协调方程为了得到在极坐标系中，用应力函数注意，此处的应力函数5.5应力分量于是，不计体力时，可由式(a)得到极坐标系中的应力分量表达式为5.6轴对称问题(1)应力函数与应力分量方程式(a)是变系数常微分方程，如令(2)轴对称问题的位移将式(g)、(h)、(i)均代入极坐标系下的双调和方程为6.6厚壁筒的弹塑性解工程上一般把圆筒分为厚壁筒和薄壁筒。当外径与内径之比小于6.1弹性解如果厚壁圆筒两端自由，则根据特雷斯卡屈服条件，由(6.6-4)式可得内壁(6.2弹塑性