3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例.doc

第3讲平面向量的数量积及应用举例最新考纲考向预测1.通过物理中的功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义会计算平面向量的数量积.2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.命题趋势平面向量数量积的概念及运算与长度、夹角、平行、垂直有关的问题平面向量数量积的综合应用仍是高考考查的热点题型仍是选择题与填空题.核心素养数学运算、逻辑推理1．向量的夹角(1)条件：平移两个非零向量a和b至同一起点结论：∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做a与b的夹角．(2)范围：0°≤θ≤180°.特殊情况：当θ＝0°时a与b共线同向．当θ＝180°时a与b共线反向．当θ＝90°时a与b互相垂直．2．向量的数量积(1)条件：两个向量a与b夹角θ结论：数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)记作a·b即a·b＝|a||b|cos_θ．(2)数量积的几何意义条件：a的长度|a|b在a方向上的投影|b|cos_θ(或b的长度|b|a在b方向上的投影|a|cos_θ)结论：数量积a·b等于|a|与|b|cos_θ的乘积(或|b|与|a|cos_θ的乘积)．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1y1)b＝(x2y2)θ＝ab．结论几何表示坐标表示向量的模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(21)＋yeq\o\al(21))夹角余弦cosθ＝eq\f(a·b|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2\r(xeq\o\al(21)＋yeq\o\al(21))\r(xeq\o\al(22)＋yeq\o\al(22)))a⊥b充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(21)＋yeq\o\al(21))eq\r(xeq\o\al(22)＋yeq\o\al(22))常用结论1．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(xy)则|a|＝eq\r(x2＋y2).2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角则有a·b>0反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角则有a·b<0反之不成立(因为夹角为π时不成立)．常见误区1．投影和两向量的数量积都是数量不是向量．2．向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影不是一个概念要加以区别．3．向量数量积的运算不满足乘法结合律即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量而a·(b·c)表示一个与a共线的向量而c与a不一定共线．1．判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量而不是向量．()(2)两个向量的数量积是一个实数向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.()(4)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(5)两个向量的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0\f(π2))).()(6)若a·b>0则a和b的夹角为锐角；若a·b<0则a和b的夹角为钝角．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×2．已知a·b＝－12eq\r(2)|a|＝4a和b的夹角为135°则|b|为()A．12B．6C．3eq\r(3)D．3解析：选B.a·b＝|a||b|cos135°＝－12eq\r(2)所以|b|＝eq\f(－12\r(2)4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2)2))))＝6.3．(多选)已知向量a＝(1－2)b＝(－24)则()A．a∥bB．(a＋b)·a＝－5C．b⊥(a－b)D．2|a|＝|b|解析：选ABD.因为1×4＝－2×(－2)所以a∥b又a＋b＝(－12)所以(a＋b)·a＝－5.a－b＝(3－6)b·(a－b)≠0所以C错误|a|＝eq\r(5)|b|＝2eq\r