（课标专用 5年高考3年模拟A版）2021高考数学 专题五 平面向量 2 平面向量的数量积及其应用课件 理.pptx

5.2平面向量的数量积及其应用考点一平面向量的数量积2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 4.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=|a|·cosθ.考向突破考向平面向量数量积的计算解析解法一:设 =a, =b,根据题意有 整理得 于是 · = = .解法二:设 =a, =b,则 · =(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4, · =(a+b)·考点二平面向量数量积的应用2.向量中常用的结论在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)在 =λ 的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;a +b +c =0⇔P为△ABC的内心.(2)| |=| |=| |⇔P为△ABC的外心.(3) + + =0⇔G为△ABC的重心.(4) · = · = · ⇔P为△ABC的垂心.考向突破考向一平面向量的长度、夹角问题解析(1)因为|a|=|b|=2,a·b=-2,所以cos<a,b>= =- ,所以<a,b>=120°.如图所示,设 =a, =b, =c,则 =a-c, =b-c,∠AOB=120°,故∠ACB=60°,因为∠AOB+∠ACB=180°,所以A,O,B,C四点共圆.不妨设为圆M. 因为 =b-a,所以 =a2-2a·b+b2=12.所以| |=2 ,由正弦定理可得,△AOB的外接圆即圆M的直径为 =4.所以,当OC为圆M的直径时,|c|取得最大值4.故选A.(2)由|a-2b|= ,得|a-2b|2=3,得a2-4a·b+4b2=3,即1-4a·b+4=3,所以a·b= ,所以cos<a,b>= = ,即<a,b>= .考向二数量积的综合应用例2(2018湖北武汉调研,6)设A、B、C是半径为1的圆O上的三点,且 ⊥ ,则( - )·( - )的最大值是 ()A.1+ B.1- C. -1D.1解法二:以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系(取 的方向为x轴正方向, 的方向为y轴正方向),则A(1,0),B(0,1).设C(cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)),∴ - =(cosθ-1,sinθ), - =(cosθ,sinθ-1),∴( - )·( - )=cosθ(cosθ-1)+sinθ(sinθ-1)=cos2θ+sin2θ-(sinθ+cosθ)=1- sin ,∵θ∈[0,2π),∴sin ∈[-1,1],∴( - )·( - )的方法1求向量长度的方法向量的长度即向量的模,通常有以下求解方法:(1)|a|= ;(2)|a±b|= ;(3)若a=(x,y),则|a|= ;(4)解向量所在三角形,转化为求三角形的边长;(5)通过解方程(组)求解.例1(1)(2019陕西部分学校4月联考,6)平面向量a,b满足|a|=4,|b|=2,a+b在a方向上的投影为5,则|a-2b|为 ()A.2B.4C.8D.16(2)已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,AB∥CD,∠ADC=90°,若点M在线段AC上,则| + |的取值范围为.解析(1)由题意知|a+b|cos<a+b,a>=|a+b|· = = =5,∴a·b=4,∴(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=42-4×4+4×22=16,∴|a-2b|=4,故选B.(2)建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),设 =λ (0≤λ≤1),则M(λ,2λ),故 =(-λ,2-2λ), =(2-λ,-2λ),则 + =(2-2λ,2-4λ),| + |= = ,当λ=0时,| + |取得最大值2 ,当λ= 时,| + |取得方法2求向量夹角问题的方法1.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得a·b及|a|,|b|或得出它们之间的关系.2.若已知a与b的坐标,则可直接利用公式cosθ= 求解,平面向量a与b的夹角θ∈[0,π].3.转化成解三角形,利用正弦定理或余弦定理求解.解析(1)e1·e2=|e1||e2|cos60°= ,a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6 +2 +e1·e2=- ,|a|= = = = ,|b|= = = = ,所以a,b的夹角的余弦值为cos<a,b>= = =- ,所以<a,b>=120°.选D.(2)设向量a与b的夹角为θ,∵向量a=(1, ),b=(3,m),∴|a|=2,a·b=3+ m.∵b在a方向上的投影为-3,∴ = =-3,解得m=-3 ,则b=(3,-3 ),则|b|=6,则cosθ= = =- ,∵0≤θ≤π,∴θ= .方法3数形结合的方法和方程与函数的思想方法向量既有大小又有方向,具有数和形的特征.在