高考数学总复习 第四单元第二节导数的应用Ⅰ课件.ppt

第二节导数的应用Ⅰ利用导数求函数的单调区间分析先计算f′(x)再去研究不等f′(x)>0和f′(x)<0。解规律总结求函数的单调区间的步骤(1)求f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)令f′(x)>0得增区间令f′(x)<0得减区间。变式训练1已知a∈R函数f(x)＝(x－a)求f(x)的单调区间。【解析】由题意知函数f(x)的定义域为{x|x≥0}当x＝0时f(x)＝0既不是增函数也不是减函数。x＞0时当a≤0时f′(x)＞0f(x)在(0＋∞)上是增函数．当a＞0时f′(x)＞0⇔3x－a＞0f(x)在上(＋∞)为增函数。f′(x)＜0⇔0＜x＜f(x)在(0)上是减函数．综上当a≤0时f(x)的递增区间为(0＋∞)；当a＞0时f(x)的递增区间为(＋∞)递减区间为(0)。利用导数证明不等式证明令g(x)＝x－lnx则g(1)＝1－ln1＝1＞0.∵x＞1∴∴g(x)在(1＋∞)上为增函数∴g(x)＞g(1)＞0即x＞lnx.规律总结利用函数的单调性证明不等式是证明不等式的常用技巧．若证明f(x)＞g(x)x∈(ab)可以等价转化为证明f(x)－g(x)＞0如果[f(x)－g(x)]′＞0说明函数f(x)－g(x)在区间(ab)上是增函数；如果f(a)－g(a)≥0由增函数下定义可知当x∈(ab)时f(x)－g(x)＞0即f(x)＞g(x)。变式训练2若求证：x>sinx.【证明】设f(x)＝x－sinx则f′(x)＝1－cosx＞0.∴f(x)在上递增．又f(0)＝0.∴x>0时f(x)>f(0)即x>sinx.已知函数的单调性求参数范围解(1)∵………2分若f(x)在(0＋∞)上是增函数则f′(x)＞0在x∈(0＋∞)时恒成立………4分即.∴a≥(－2x3)max.………5分∵x>0∴－2x3<0∴a≥0.………7分故a的取值范围是[0＋∞)(2)若f(x)在(－∞－1)上是减函数则f′(x)＜0恒成立………8分即a＜(－2x3)min.………10分∵x<－1∴－2x3>2.∴a≤2.故a可取值范围是(－∞2].………12分规律总结(1)若f(x)在(ab)上单调递增则f′(x)≥0在x∈(ab)恒成立(f′(x)不恒为0)；若f(x)在(ab)上单调递减则f′(x)≤0在x∈(ab)恒成立(f′(x)不恒为0)．(2)不等式恒成立问题可以转化为求函数的最值问题来研究如a≥f(x)(x∈D)恒成立可得a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)(x∈D)恒成立可得a≤f(x)min(x∈D)；也可利用函数图象求解如二次不等式讨论恒成立问题时多采用图象法．【解析】由题意得f′(x)＝3x2－2ax≤0在x∈[02]上恒成立即在x∈[02]上恒成立1．掌握判断函数在某区间上单调性的步骤掌握单调区间的求法注意在定义域上研究单调区间．2．已知含参数函数f(x)在某区间上的单调性求参数范围时注意可以用分离参数法求范围．并且注意当函数f(x)在区间上是增函数时有f′(x)≥0是减函数时有f′(x)≤0.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数求a的取值范围．错解f′(x)＝3ax2＋6x－1.当f′(x)＜0时f(x)是减函数即3ax2＋6x－1＜0在R上恒成立故解得a＜－3.错解分析f′(x)＜0[x∈(ab)]是f(x)在(ab)上单调递减的充分不必要条件在解题过程中易误作充要条件．如f(x)＝－x3在R上是减函数但f′(x)＝－3x2≤0f(x)在(ab)上单调递减应为f′(x)≤0在(ab)上恒成立(f′(x)不恒为0)f′(x)在(ab)上有有限个点可以为零．正解由题意得f′(x)＝3ax2＋6x－1.若f(x)在R上是减函数则f′(x)≤0(x∈R)恒成立