高考数学 3.2 导数的应用总复习课件.ppt

要点梳理1.函数的单调性在（ab)内可导函数f(x)f′(x)在(ab)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0f(x)为；f′(x)≤0f(x)为.2.函数的极值（1）判断f(x0)是极值的方法一般地当函数f(x)在点x0处连续时①如果在x0附近的左侧右侧那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧右侧那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x);②求方程的根；③检查f′(x)在方程的根左右值的符号.如果左正右负那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得.3.函数的最值（1）在闭区间［ab］上连续的函数f(x)在［ab］上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在［ab］上单调递增则为函数的最小值为函数的最大值；若函数f(x)在［ab］上单调递减则为函数的最大值为函数的最小值.(3)设函数f(x)在［ab］上连续在(ab)内可导求f(x)在［ab］上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在（ab)内的；②将f(x)的各极值与比较其中最大的一个是最大值最小的一个是最小值.4.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是:基础自测1.函数y=x3-3x的单调递减区间是（）A.（-∞0）B.（0+∞）C.（-11）D.（-∞-1）（1+∞）解析∵y′=3x2-3∴由3x2-3＜0得-1＜x＜1.2.函数f(x)=x3+ax-2在区间（1+∞）上是增函数则实数a的取值范围是（）A.［3+∞)B.［-3+∞)C.(-3+∞)D.(-∞-3)解析∵f(x)=x3+ax-2在（1+∞）上是增函数∴f′(x)=3x2+a≥0在（1+∞）上恒成立.即a≥-3x2在（1+∞）上恒成立.又∵在（1+∞）上-3x2＜-3∴a≥-3.3.函数y=2x3-3x2-12x+5在［03］上的最大值最小值分别是（）A.5-15B.5-4C.-4-15D.5-16解析∵y′=6x2-6x-12=0得x=-1（舍去）或2故函数y=f(x)=2x3-3x2-12x+5在［03］上的最值可能是x取023时的函数值而f（0）=5f（2）=-15f（3）=-4故最大值为5最小值为-15.4.函数f（x）的定义域为开区间（ab）导函数f′(x)在（ab）内的图象如图所示则函数f（x）在开区间（ab）内有极小值点（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析f′(x)＞0时f(x)单调递增f′(x)＜0时f(x)单调递减.极小值点应在先减后增的特殊点即f′(x)＜0→f′(x)=0→f′(x)＞0.由图象可知只有1个极小值点.5.（2009·辽宁文15）若函数f(x)=在x=1处取极值则a=.解析因为f(x)在x=1处取极值所以1是f′(x)=0的根将x=1代入得a=3.题型一函数的单调性与导数【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a使f(x)在（-11）上单调递减？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由.求f′(x)→f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立→a的范围.解（1）由已知f′(x)=3x2-a.∵f（x）在（-∞+∞）上是增函数∴f′（x）=3x2-a≥0在（-∞+∞）上恒成立.即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0∴只要a≤0.又∵a=0时f′(x)=3x2≥0∴f（x）=x3-1在R上是增函数∴a≤0.（2）由f′(x)=3x2-a≤0在（-11）上恒成立.∴a≥3x2在x∈（-11）上恒成立.又∵-1＜x＜1∴3x2＜3只需a≥3.当a=3时f′(x)=3(x2-1)在x∈(-11)上f′(x)＜0即f(x)在（-11）上为减函数∴a≥3.故存在实数a≥3使f(x)在（-11）上单调递减.探究提高利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件在（ab）内可导的函数f(x)在（ab)上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］x∈(ab)恒成立且f′(x)在