新课标2021版高考数学一轮总复习考点集训十七第17讲导数与函数的综合问题新人教A版.docx

9考点集训(十七)第17讲导数与函数的综合问题对应学生用书p219A组题1．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对任意x∈(0＋∞)恒成立则实数a的取值范围是()A．(－∞0)B．(－∞4]C．(0＋∞)D．[4＋∞)[解析]2xlnx≥－x2＋ax－3则a≤2lnx＋x＋eq\f(3x)设h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3x)(x>0)则h′(x)＝eq\f(（x＋3）（x－1）x2).当x∈(01)时h′(x)<0函数h(x)单调递减；当x∈(1＋∞)时h′(x)>0函数h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.[答案]B2．已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)＝－3且对任意实数x总有f′(x)＜3则不等式f(x)＜3x－15的解集为()A．(－∞4)B．(－∞－4)C．(－∞－4)∪(4＋∞)D．(4＋∞)[解析]设g(x)＝f(x)－(3x－15)＝f(x)－3x＋15则所求的不等式解集可理解为使g(x)<0的解集．g(x)的导函数为g′(x)＝f′(x)－3根据题意可知g′(x)＝f′(x)－3<0对任意实数x恒成立所以g(x)在R上单调递减．则g(4)＝f(4)－12＋15＝0令g(x)<0则g(x)<g(4)根据单调递减可知：x>4.[答案]D3．若a＞eq\f(1e)则方程lnx－ax＝0的实根的个数为()A．0个B．1个C．2个D．无穷多个[解析]方程lnx－ax＝0等价于eq\f(lnxx)＝a设f(x)＝eq\f(lnxx).∵f′(x)＝eq\f(\f(1x)·x－lnxx2)＝eq\f(1－lnxx2)令f′(x)＝0得x＝e∴f(x)在(0e)上单调递增；在(e＋∞)上单调递减．∴f(x)的最大值f(e)＝eq\f(1e)即f(x)＝eq\f(lnxx)≤eq\f(1e)(仅当x＝e时等号成立)．∵a＞eq\f(1e)∴原方程无实根．[答案]A4．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为y＝eq\f(181000)x3－eq\f(110)x＋18(0＜x≤120)．若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低则汽车匀速行驶的速度应为()A．60千米/时B．80千米/时C．90千米/时D．100千米/时[解析]当速度为x千米/小时时间为eq\f(200x)小时所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(181000)x3－\f(110)x＋18))·eq\f(200x)＝eq\f(1405)x2＋eq\f(3600x)－20(0＜x≤120)所以f′(x)＝eq\f(2405)x－eq\f(3600x2)＝eq\f(2x3－2×903405x2)(0＜x≤120)令f′(x)＝0∴x＝90.当x∈(090)时函数f(x)单调递减当x∈(90120)时函数f(x)单调递增．所以x＝90时函数f(x)取得最小值．[答案]C5．某城市在发展过程中交通状况逐渐受到大家更多的关注据有关统计数据显示从上午6时到9时车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－eq\f(18)t3－eq\f(34)t2＋36t－eq\f(6294).则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是________时．[解析]y′＝－eq\f(38)t2－eq\f(32)t＋36＝－eq\f(38)(t＋12)(t－8)令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8当6≤t<8时y′>0；当8<t<9时y′<0.∴当t＝8时y有最大值．[答案]86．设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a其中a<1若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0则a的取值范围是____________．[解析]f(x)<0ex(2x－1)<ax－a记g(x)＝ex(2x－1)则题意说明存在唯一的整数x0使g(x)的图象在直线y＝ax－a下方g′(x)＝ex(2x＋1)当x<－eq\f(12)时g′(x)<0当x>－eq\f(12)时g′(x)>0因此当x＝－eq\f(12)时g(x)取得极小值也是最小值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12)))＝－2e－eq\f(12)又g(0)＝－1g(1)＝e>0直线y＝ax－a过点(10)且斜率为a故eq\b\lc\{(\a\vs