由数列的递推公式求通项公式的求解策略.doc

中小学教育资源交流中心http://www.k12zy.com提供12由数列递推公式求通项公式的求解策略一般地如果已知数列的第１项（或前几项）且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．由递推公式给出的数列称之为递推数列．等差、等比数列实际上就是最简单的递推数列．求递推数列的通项的方法较为灵活本文归纳涉及递推数列的常用解题方法及技巧。一、直接构成等差等比数列例1．已知数列递推公式求数列通项公式。二、迭加法（或迭乘法）：当递推关系为时要求通项公式时我们常通过（或）的变形来求出此方法叫迭加法（或迭乘法）例题5：已知正数数列满足求.三、迭代法：当数列的递推关系为可以是常数也可以是关于n的函数式）通过的一步步迭代可求出通项公式具体做法为：例6、已知数列的前n项和满足（1）写出数列的前三项（2）求数列的通项公式四、用求解：数列的前n项和与的隐含关系为利用这个关系揭示与的关系或与的关系使数列化归为两个基本的数列求解例7、为数列的前n项和且首项若求证：数列为等比数列（2）、设求证：数列为等比数列（3）、求数列的通项公式及前n项和公式五、构造新的辅助等差等比数列求通项：当数列的递推关系为或或时往往可以将其转化为一个新的等差数列或等比数列然后再依次求出有关的通项公式。或待定系数法的渗透对于形如、、（是常数）等递推式求通项类型的试题在高考中出现的频率最高在每年的各省市高考卷中都能找到其身影而且其解题的方法众多其中待定系数法不失一种简洁的方法。例8（2006年全国Ⅰ卷）在数列中。求首项与通项。分析：由题意得解得。又即设利用待定系数法可得又所以数列是公比为4的等比数列。所以得。取倒数不动点法：对于形如的递推式求解通项可利用特征方程若此方程有两不相等的实根则可构造数列等比若此方程有两相等的实根则可构造等差数列从而解得的表达式。求数列的通项公式。析：两边同除以的系数的n+1次方构造新数列。六.归纳、猜想、证明求通项（需用到数学归纳法）下面用数学归纳法证明猜的正确性:＝＝也就是说对n=k+1时猜想正确。综上（i）(ii)可知说明：由递推关系式可以求出数列前几项由这几项先猜想其通项公式最后用数学归纳法证明其正确性。因为数列通项公式是与自然数n有关问题所以用数学归纳法证明。由数列递推关系式求通项一般可以用此法。七、不动点的渗透在几年高考试卷中不动点的知识应用频率非常高对于形如的递推式求解通项可利用特征方程若此方程有两不相等的实根则可构造数列等比若此方程有两相等的实根则可构造等差数列从而解得的表达式。例13（2006年全国Ⅱ卷）设数列的前项和为且方程有一根为。求数列的通项公式。分析：易得且将代入上式得利用特征方程解得可构造则且所以数列是公差为的等差数列。故所以因此数列的通项公式为。