由数列递推公式求通项公式的常用策略.docx

化归思想在递推数列通项公式中的应用在高中数学中，解决数列问题常用的数学思想有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想，尤其是运用化归思想将问题转化为等差、等比数列问题来研究，是解答数列问题的最基本的思维方向。本文就教学中积累的运用化归思想求解递推数列通项公式做一总结，供参考。运用化归思想求解递推数列的通项公式，其思路是通过恰当变换递推关系，将非等差非等比数列转化为特殊数列而求得其通项公式。化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的、易解的或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的、直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的、特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。转化与化归的基本类型主要有：已知与未知的转化；部分与整体的转化；具体与抽象的转化；特殊与一般的转化；不等与相等的转化；运动与静止的转化；分散与集中的转化；几何与代数的转化；陌生与熟悉的转化；高次与低次的转化；复杂与简单的转化；综合与基本的转化；顺向与逆向的转化；常规与技巧的转化；高维与低维的转化；正面与反面的转化解题方法：运用化归与转化思想解题的依据或步骤主要是要明确三个问题：（1）明确化归对象，即对什么问题转化，这是化归与转化思想的根基；（2）认清化归目标，即化归到何处去，这是化归与转化思想的目标；（3）把握化归方法，即如何进行化归，这是化归与转化思想的关键。运用化归与转化思想解题的主要转化方法有：待定系数法、作差法、倒数法、取对数法、换元法、配凑法等。一、一阶线性递推公式此类数列解决的思路是，运用化归与转化思想将其转化为等比数列求解，具体转化途径是分离常数法或作差法。例1、在数列的通项公式？解法1：设比较，得，所以有为首项，为公比的等比数列解法2：两式相减得：是以为首项，3为公比的等比数列，由累加法得点评：本例运用化归与转化思想，化一般为特殊，以化归为特殊数列为目标，通过分离常数法、作差法手段实现了化归目标。二、一阶分式递推公式此类数列解决的思路是，运用化归与转化思想将其转化为等差、等比数列求解，具体转化途径是取倒数法。例2、已知在各项不为零的数列中，，求数列的通项公式？解：，两边取倒数得，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，则，例3、已知数列满足，求的通项公式？解：两边取倒数得：是以为首项，2为公比的等比数列。点评：上述两例运用化归与转化思想，以化归为等差数列、等比数列为目标，通过取倒数手段实现了化归目标。三、一阶递推公式（1）若，此类数列解决的思路是，运用化归与转化思想将其转化为一阶线性递推公式求解，具体转化途径是两边同除以得：，令，，则转化为一阶线性递推公式。例4、已知数列满足，，求解：由已知得设，故有是以为公比，为首项的等比数列点评：本例中运用化归转化思想，通过换元法手段将一阶递推公式转化为一阶线性递推公式求解。四、二阶线性递推公式此类数列解决的思路是，运用化归与转化思想将其转化为等比数列求解，具体转化途径是运用待定系数法进行转化。例5、数列，且，求数列的通项公式？解：设比较得：或或是以为首项，为公比的等比数列或数列是以为首项，1为公比的等比数列或易得：，由适合所以