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中小学教育资源交流中心http://www.k12zy.com提供 由数列递推公式求通项公式的求解策略 普通地,如果已知数列的第1项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.由递推公式给出的数列,称之为递推数列.等差、等比数列实际上就是最简单的递推数列.求递推数列的通项的方法较为灵活,本文归纳涉及递推数列的常用解题方法及技巧。 一、直接构成等差等比数列 例1.已知数列递推公式,求数列通项公式。 二、迭加法(或迭乘法):当递推关系为时,要求通项公式时,我们常通过(或)的变形来求出,此方法叫迭加法(或迭乘法) 例题5:已知正数数列满足,求. 三、迭代法:当数列的递推关系为可以是常数,也能够是关于n的函数式),通过的一步步迭代可求出通项公式,具体做法为: 例6、已知数列的前n项和,满足 (1)写出数列的前三项(2)求数列的通项公式 四、用求解:数列的前n项和与的隐含关系为,利用这个关系揭示与的关系或与的关系,使数列化归为两个基本的数列求解 例7、为数列的前n项和,且,首项 若,求证:数列为等比数列 (2)、设,求证:数列为等比数列 (3)、求数列的通项公式及前n项和公式 五、构造新的辅助等差等比数列求通项:当数列的递推关系为或或时,往往可以将其转化为一个新的等差数列或等比数列,然后再顺次求出有关的通项公式。或待定系数法的渗透 对于形如、、(是常数)等递推式求通项类型的试题,在高考中出现的频率最高,在每年的各省市高考卷中都能找到其身影,而且其解题的方法众多,其中待定系数法不失一种简洁的方法。 例8(2006年全国Ⅰ卷)在数列中,,。求首项与通项。 分析:由题意得,解得。又,即,设,利用待定系数法可得,又,所以数列是公比为4的等比数列。所以,得。 取倒数 不动点法:对于形如的递推式求解通项,可利用特征方程,若此方程有两不相等的实根,则可构造数列等比,若此方程有两相等的实根,则可构造等差数列,从而解得的表达式。 ,求数列的通项公式。 析:两边同除以的系数的n+1次方,构造新数列。 六.归纳、猜想、证明求通项(需用到数学归纳法) ,, 下方用数学归纳法证明猜的正确性: =, =, 也就是说对n=k+1时,猜想正确。 综上(i)(ii)可知, 说明:由递推关系式可以求出数列前几项,由这几项先猜想其通项公式,最初用数学归纳法证明其正确性。由于数列通项公式是与自然数n有关问题,所以用数学归纳法证明。由数列递推关系式求通项,普通可以用此法。 七、不动点的渗透 在几年高考试卷中,不动点的知识运用频率非常高,对于形如的递推式求解通项,可利用特征方程,若此方程有两不相等的实根,则可构造数列等比,若此方程有两相等的实根,则可构造等差数列,从而解得的表达式。 例13(2006年全国Ⅱ卷)设数列的前项和为,且方程有一根为。求数列的通项公式。 分析:易得,且,将代入上式,得,利用特征方程解得,可构造,则,且,所以数列是公差为的等差数列。故,所以,因而数列的通项公式为。