2018年高考数学考点一遍过专题37双曲线文.doc

-24-考点37双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.一、双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F1F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：.（3）当时曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时轨迹为分别以F1F2为端点的两条射线；当时动点轨迹不存在．2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a＞0b＞0)焦点分别为F1(－c0)F2(c0)焦距为2c且如图1所示；（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a＞0b＞0)焦点分别为F1(0－c)F2(0c)焦距为2c且如图2所示．图1图2注：双曲线方程中ab的大小关系是不确定的但必有c＞a＞0c＞b＞0．3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为b.（2）与双曲线(a＞0b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为．（3）若双曲线的渐近线方程为则双曲线方程可设为或．（4）与双曲线(a＞0b＞0)共焦点的双曲线方程可设为．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为．（6）与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为．二、双曲线的几何性质1．双曲线的几何性质标准方程(a＞0b＞0)(a＞0b＞0)图形范围对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点左焦点F1(－c0)右焦点F2(c0)下焦点F1(0－c)上焦点F2(0c)顶点轴线段A1A2是双曲线的实轴线段B1B2是双曲线的虚轴；实轴长|A1A2|＝2a虚轴长|B1B2|＝2b渐近线离心率e2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为；（2）渐近线方程为它们互相垂直并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于离心率．考向一双曲线的定义和标准方程1．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．2．求双曲线方程时一是注意判断标准形式；二是注意a、b、c的关系易错易混.典例1已知F1F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点点P在C上|PF1|=2|PF2|则cos∠F1PF2=A．B．C．D．【答案】C又|F1F2|=2c=4∴cos∠F1PF2==.典例2设F1F2是双曲线x2-=1的两个焦点P是双曲线上的一点且则的面积为A．4B．8C．24D．48【答案】C【解析】由P是双曲线上的一点和可知解得又所以为直角三角形所以的面积S=×6×8=24故选C.1．若双曲线=1的左焦点为F点P是双曲线右支上的动点A(14)则|PF|+|PA|的最小值是.考向二求双曲线的方程求解双曲线的标准方程时先确定双曲线的类型也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴从而设出相应的标准方程的形式然后利用待定系数法求出方程中的的值最后写出双曲线的标准方程.在求双曲线的方程时若不知道焦点的位置则进行讨论或可直接设双曲线的方程为.典例3已知双曲线与双曲线的焦点重合的方程为若的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍则的方程为__________________.【答案】而的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍所以的一条渐近线的倾斜角为其斜率即的一条渐近线为即.而解得所以的方程为.典例4如图已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9动圆M同时与圆C1及圆C2相外切求动圆圆心M的轨迹方程.且a=1c=3所以b2=c2-a2=8.于是所求动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).2．已知双曲线(a>0b>0)的左、右焦点分别为F1F2点P()在双曲线的右支上且|PF1|=3|PF2|·=0求双曲线的标准方程.考向三双曲线的渐近线对于双曲线的渐近线有下面两种考查方式：（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程由渐近线方程可确定ab的关系结合已知条件可解.典例5设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点满足且到直线的距离等于双曲线的实轴长则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】A解得所以所以渐近线方程为典例6如图已知F1、F2分别为双曲线C:的左、右焦点P为第一象限内一点且满足|F2P|=a(+)·=0线段F2P与双曲线C交于点Q若|F2P|=5|F2Q|则双曲线C的渐近线方程为A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【答案】B义可得|Q