2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.doc

5第2课时函数奇偶性的应用1．函数f(x)是定义在R上的奇函数当x>0时f(x)＝－x＋1则当x<0时f(x)的解析式为()A．f(x)＝－x＋1B．f(x)＝－x－1C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝x－1[解析]设x<0则－x>0.∴f(－x)＝x＋1又函数f(x)是奇函数．∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1∴f(x)＝－x－1(x<0)．[答案]B2．设f(x)是R上的偶函数且在[0＋∞)上单凋递增则f(－2)f(－π)f(3)的大小顺序是()A．f(－π)>f(3)>f(－2)B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(3)>f(－2)>f(－π)D．f(3)>f(－π)>f(－2)[解析]∵f(x)是R上的偶函数∴f(－2)＝f(2)f(－π)＝f(π)又f(x)在[0＋∞)上单调递增且2<3<π∴f(π)>f(3)<f(2)即f(－π)>f(3)>f(－2)．[答案]A3．已知偶函数f(x)在区间[0＋∞)上单调递增则满足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)))的x的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)\f(23)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)\f(23)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)\f(23)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)\f(23)))[解析]由于f(x)为偶函数且在[0＋∞)上单调递增则不等式f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13)))即－eq\f(13)<2x－1<eq\f(13)解得eq\f(13)<x<eq\f(23).[答案]A4．若奇函数f(x)在区间[25]上的最小值是6那么f(x)在区间[－5－2]上有()A．最小值6B．最小值－6C．最大值－6D．最大值6[解析]因为奇函数f(x)在[25]上有最小值6所以可设a∈[25]有f(a)＝6.由奇函数的性质f(x)在[－5－2]上必有最大值且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.[答案]C5．函数f(x)＝x3＋eq\r(3x)＋1(x∈R)若f(a)＝2则f(－a)的值为________．[解析]∵f(a)＝2∴a3＋eq\r(3a)＋1＝2a3＋eq\r(3a)＝1.∴f(－a)＝(－a)3＋eq\r(3－a)＋1＝－(a3＋eq\r(3a))＋1＝－1＋1＝0.[答案]0课内拓展课外探究一、抽象函数的奇偶性与对称性我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性只不过它是一种特殊的对称性是关于原点或y轴对称的问题．那么我们能否把这种对称性进行推广呢？1．函数图象关于直线x＝a对称的问题【典例1】当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时会满足怎样的条件呢？[解]如图所示在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值如a－xa＋x由对称性知它们的函数值相等即f(a－x)＝f(a＋x)；反之若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)则可证明其图象关于直线x＝a对称．证明：设函数y＝f(x)的图象上任一点为P(xy)则它关于直线x＝a的对称点为P′(2a－xy)．因为f(a－x)＝f(a＋x)所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝f[a－(a－x)]＝f(x)．这说明点P′(2a－xy)也在函数y＝f(x)的图象上则函数图象关于直线x＝a对称由此得出：函数y＝f(x)对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论：f(x)在定义域内恒满足的条件y＝f(x)的图象的对称轴f(a＋x)＝f(a－x)直线x＝af(x)＝f(a－x)直线x＝eq\f(a2)f(a＋x)＝f(b－x)直线x＝eq\f(a＋b2)2.函数图象关于点(a0)对称的问题【典例2】当函数y＝f(x)的图象关于点(a0)对称时又会满足怎样的条件呢？[解]如图所示在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值如a－xa＋x由对称性知它们的函数值互为相反数即f(a－x)＝－f(a＋x)；反之若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝－f(a＋x)则可证明其图象关于点(a0)对称．证明：设函数y＝f(x)图象上任一点为P(xy)则它关于点(a0)的对称点为P′(2a－x－y)．因为f(a－x)＝－f(a＋x)所以f(2a－x)