试题-全国-2008_初三数学两圆外切中的直角三角形专题辅导.rar

用心爱心专心115号编辑两圆外切中的直角三角形杨效先两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种关系，当相切的两个圆，除了切点外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，我们称这两个圆外切。与外切两圆的有关的计算问题，常构造直角梯形及直角三角形，用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形。下面举例说明。问题1如图1，半径为r、R的⊙O1与⊙O2外切，外公切线AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，过点O1做O1C⊥O2B，垂足为C，则在Rt△O1O2C中，求sin∠CO1O2及tan∠CO1O2。提示：如图，在Rt△O1O2C中AB=O1C=则sin∠CO1O2=，tan∠CO1O2=。运用1：（教材例3）要做一个如图2那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求V形角α的度数。提示：如图2，易知α=2∠FO1O2，运用问题1的结论可得结果。实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法。它属于简单的数学建模。问题2如图3，⊙O1与⊙O2外切于点P，AB为两圆的外公切线，切点为A、B，求证△ABP为直角三角形。证明：过P作内公切线交AB于E，由切线长定理知EB=EP，EP=EA，即EB=EP=EA，根据定理（在一个三角形中，一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形）知△ABP为直角三角形。运用2如图4，⊙O1与⊙O2外切于点P，⊙O1与⊙O2内公切线PC与外公切线AB（A、B分别是两圆上的切点）相交于点C，已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3、4，则PC的长等于。分析：由于AB为外公切线，由问题1的结论知。又由问题2知△APB为直角三角形且CP=CB=AC，故CP为斜边AB上的中线，因此CP=。运用3如图5，⊙O1与⊙O2外切于点P，AB为两圆的外公切线，切点为A、B，连心线O1O2交⊙O1于C，交⊙O2于D，CA与DB的延长线相交于Q，求证：CQ⊥DQ。简析：连AP、BP，由问题2知∠APB=Rt∠，又∠CAP=∠PBD=Rt∠，故由四边形内角和定理知∠Q=Rt∠，即CQ⊥DQ。此题中A、B为外公切线与两圆的切点，P为两圆切点。我们习惯上把△ABP称为切点三角形。在关于两圆外切关系的几何证明题中，运用切点三角形来分析问题，解决问题，可以收到事半功倍的效果，它的应用在两圆外切中尤为重要。问题3如图6，⊙O1与⊙O2外切于点P，⊙O1与⊙O2内公切线PC与外公切线AB（A、B分别是两圆上的切点）相交于点C，求证：△O1O2C为直角三角形。简析：易证∠ACO1=∠PCO1，∠BCO2=∠PCO2。又有∠ACO1+∠PCO1+∠BCO2+∠PCO2=180°。所以∠O1CO2=90°，即△O1O2C为直角三角形。运用4对运用2的解法2。分析：由问题3知PC为Rt△O1O2C斜边O1O2上的高，根据射影定理得：，即CP=。在两圆外切关系解题时要灵活的应用这些基本的图形。直角三角形并不是现成有的，而是添线构造出来的，难度稍大些，因此脑子中对这些直角三角形必须有深刻的印象，才能举一反三，触类旁通。