初三数学求两圆公切线相关的问题专题辅导.doc

用心爱心专心求两圆公切线相关的问题张跃辉怎样求两圆的公切线的长？下面先给出求公切线的一般方法：如图1，设AB是⊙与⊙的外公切线，切点为A和B，⊙的半径为R，⊙的半径为r。图1连接和，过点作，垂足为点C。∵AB是两圆的外公切线，切点为A和B。∴四边形是矩形。在Rt△中，由勾股定理，得特别地，点⊙与⊙外切时，，这时外公切线长为。如图2，设AB是⊙与⊙的内公切线，切点为A和B，＝d，⊙的半径为R，⊙的半径为r。图2连接和，由过作的垂线交的延长线于C。则四边形是矩形。求两圆公切线长时，还应注意两圆相切时，连心线过切点这一事实。例1.如图3，两圆叠靠在墙边，两圆的半径分别为4和1，求它们与墙的切点A，B间的距离。图3解：过作，垂足为C。则则∴AB＝4。例2.已知：如图4，过⊙O上的一点C作直径AB的垂线，垂足为D，⊙O′切AB于E，切CD于F，内切半圆交于G。求证：AC＝AE。图4证明：设OA＝R，O′E＝r，则OO′＝R－r。∵AB⊥CD，AB为直径，∴又∴AE＝AC。例3.两圆半径分别为4、2，如果它们有两条公切线互相垂直，求这两圆的连心线的长并作出图形。解：作半径为4的⊙O及它的两条相互垂直的切线则把平面分成四部分。设半径为2的圆的圆心为，则与和相切的⊙只能在上述的四个部分之中，⊙和⊙O连心线的长度只能是图5、图6、图7的三种情况。图5图6图7在图5中，作OA⊥于A，于B，于C，则在图6中，在图7中，例4.已知：⊙与⊙外切，⊙的半径R＝2，设⊙的半径是r。（1）如果⊙与⊙的圆心距d＝4，求r的值。（2）如果⊙、⊙的公切线中有两条互相垂直，并且，求r的值。解：（1）∵⊙与⊙外切，∴R＋r＝d。∵R＝2，d＝4，∴r＝2。图8（2）①当两圆的一条外公切线与内公切线互相垂直时，如图8，⊙与⊙外切于点C，m、n是两圆的公切线，且m⊥n，m、n交于点O，外公切线n分别切⊙、⊙于点A、B。连接。则过点C。∴四边形是正方形。∴∴r＝R＝2。②当两圆的外公切线m、n互相垂直时，如图9，两条外公切线的交点O，⊙与⊙外切于点D，⊙、⊙分别与它们的外公切线相切于A、E、B、F，图9连接∴分别在∠AOE的平分线上，四边形是正方形，∴。同理∴或上述各例说明了求两圆公切线长的方法。